【正文】 所以，從而求得，所以該長方體的體積為，故選 C.【點睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果 .，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，且，則 .【答案】 B【解析】【分析】首先根據(jù)兩點都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結(jié)合，從而得到，從而確定選項 .【詳解】由三點共線，從而得到，因為，解得，即，所以，故選 B.【點睛】該題考查的是有關(guān) 角的終邊上點的縱坐標的差值的問題，涉及到的知識點有共線的點的坐標的關(guān)系，余弦的倍角公式，余弦函數(shù)的定義式，根據(jù)題中的條件，得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果 .，則滿足的 x 的取值范圍是（） .【答案】 D【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖像畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立，一定會有，從而求得結(jié)果 .詳解：將函數(shù)的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的 x 的取值范圍是，故選 ：該題考查的是有關(guān)通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關(guān)系，從而求得相關(guān)的參數(shù)的值的問題，在 求解的過程中，需要利用函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像，從而得到要出現(xiàn)函數(shù)值的大小，絕對不是常函數(shù)，從而確定出自變量的所處的位置，結(jié)合函數(shù)值的大小，確定出自變量的大小，從而得到其等價的不等式組，從而求得結(jié)果 .二、填空題（本題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分） ，若，則 ________．【答案】 7【解析】分析：首先利用題的條件，將其代入解析式，得到，從而得到，從而求得，得到答案 .詳解：根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是 .點睛：該題考查的是有關(guān)已知某個自變量對應(yīng)函數(shù)值的大小，來確定有關(guān)參數(shù)值的問題，在求解的過程 中，需要將自變量代入函數(shù)解析式，求解即可得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目 .，滿足約束條件，則的最大值為 _____________．【答案】 6【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過 B 點時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點 B 的坐標代入目標函數(shù)解析式，求得最大值 .【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示： 由，可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當直線在 y 軸截距最 大時， z 取得最大值，由，解得，此時，故答案為：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標函數(shù)的形式，判斷 z 的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型； 根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解 .，則 ________．【答案】【解析】【分析】首先將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程，得到圓心坐標和圓的半徑的大小，之 后應(yīng)用點到直線的距離求得弦心距，借助于圓中特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求得弦長 .【詳解】根據(jù)題意，圓的方程可化為，所以圓的圓心為，且半徑是，根據(jù)點到直線的距離公式可以求得，結(jié)合圓中的特殊三角形，可知，故答案為 .【點睛】該題考查的是有關(guān)直線被圓截得的弦長問題，在解題的過程中，熟練應(yīng)用圓中的特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，借助于勾股定理求得結(jié)果 .16.△的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則△的面積為________．【答案】 .【解析】【分析】首先利用正弦定理將題中 的式子化為，化簡求得，利用余弦定理，結(jié)合題中的條件，可以得到，可以斷定為銳角，從而求得，進一步求得，利用三角形面積公式求得結(jié)果 .【詳解】因為，結(jié)合正弦定理可得，可得，因為，結(jié)合余弦定理，可得，所以為銳角，且，從而求得，所以的面積為，故答案是 .【點睛】本題主要考查余弦定理及正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題 .對余弦定理一定要熟記兩種形式：（ 1）； （ 2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件 .另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住、等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用 .三、解答題：共 70 分 。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 17~21 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 2 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共 60分。 ，設(shè)．（ 1）求； （ 2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由； （ 3）求的通項公式．【答案】（ 1），； （ 2）是首項為，公比為的等比數(shù)列．理由見解析； （ 3） .【解析】【分析】（ 1）根據(jù)題中條件所給的數(shù)列的遞推公式，將其化為，分別令和，代入上式求得和，再利用，從而求得，； （ 2）利用條件可以得到，從而可以得出，這樣就可以得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列； （ 3）借助等比數(shù)列的通項公式求得，從而求得 .【詳解】（ 1）由條件可得．將代入得，而，所以，．將代入得，所以，．從而，； （ 2）是首項為，公比為的等比數(shù)列．由條件可得，即，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列； （ 3）由（ 2）可得，所以．【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有根據(jù)數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的項，根據(jù)不同數(shù)列的項之間的關(guān)系，確定新數(shù)列的項，利用遞推關(guān)系整理得到相鄰兩項之間的 關(guān)系確定數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得數(shù)列的通項公式，借助于的通項公式求得數(shù)列的通項公式，從而求得最后的結(jié)果 .，在平行四邊形中，，以為折痕將△折起，使點到達點的位置，且．（ 1）證明：平面平面； （ 2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積．【答案】 (1)見解析 .(2)1.【解析】分析： (1)首先根據(jù)題的條件，可以得到 =90，即，再結(jié)合已知條件 BA⊥ AD，利用線面垂直的判定定理證得AB⊥平面 ACD，又因為 AB 平面 ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面 ACD⊥平面 ABC； (2)根據(jù)已知條件，求得相關(guān)的線段的長度，根據(jù)第一問的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐的高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積 .詳解：（ 1）由已知可得， =90176。，．又 BA⊥ AD，且，所以 AB⊥平面 ACD．又 AB 平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC．（ 2）由已知可得， DC=CM=AB=3， DA=．又，所以．作 QE⊥ AC，垂足為 E，則．由已知及（ 1）可得 DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC， QE=1．因此，三棱錐的體積為．點睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定以及三 棱錐的體積的求解，在解題的過程中，需要清楚題中的有關(guān)垂直的直線的位置，結(jié)合線面垂直的判定定理證得線面垂直，之后應(yīng)用面面垂直的判定定理證得面面垂直，需要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，在求三棱錐的體積的時候，注意應(yīng)用體積公式求解即可 .水量數(shù)據(jù)（單位：）和使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下： 未使用節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)（ 1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)的頻 率分布直方圖： （ 2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率； （ 3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表．）【答案】（ 1）直方圖見解析； （ 2）； （ 3） .【解析】【分析】（ 1）根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表，算出落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，借助于直方圖中長方形的面積表示的就是落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，從而確定出對應(yīng)矩形的高，從而得到直方圖； （ 2）結(jié)合直方圖，算出日用水量小于的矩形的面積總和，即為所求的頻率； （ 3）根據(jù)組中值乘以相應(yīng)的頻率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能節(jié)約用水多少，從而求得結(jié)果 .【詳解】（ 1）頻率分布直方圖如下圖所示： （ 2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后天日用水量小于的頻率為； 因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于的概率的估計值為； （ 3）該家庭未使用節(jié)水龍頭天日用水量的平均數(shù)為．該家庭使用了節(jié)水龍頭后 50 天日用水量的平均數(shù)為．估計使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水．【點睛】該題考查的是有關(guān)統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有頻率分布直方圖的繪制、利用頻率分布直方圖計算變量落在相應(yīng)區(qū)間上的概率、利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，在解題的過程中，需要認真審題，細心運算，仔細求解，就可以得出正確結(jié)果 .，點，過點的直線與交于，兩點．（ 1）當與軸垂直時，求直線的方程； （ 2）證明：．【答案】（ 1）或； （ 2）見解析 .【解析】 【分析】（ 1）首先根據(jù)與軸垂直，且過點，求得直線的方程為，代入拋物線方程求得點的坐標為或，利用兩點式求得直線的方程； （ 2）設(shè)直線的方程為，點、將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由斜率公式并結(jié)合韋達定理計算出直線、的斜率之和為零，從而得出所證結(jié)論成立 .【詳解】（ 1）當與軸垂直時，的方程為，可得的坐標為或．所以直線的方程為或； （ 2）設(shè)的方程為，、由，得，可知，．直線、的斜率之和為，所以，可知、的傾斜角互補，所以 .綜上， .【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的問題，涉及到的知識 點有直線方程的兩點式、直線與拋物線相交的綜合問題、關(guān)于角的大小用斜率來衡量，在解題的過程中，第一問求直線方程的時候，需要注意方法比較簡單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個，關(guān)于第二問，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達定理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來得到角是相等的結(jié)論 .21.【 2021 年新課標 I 卷文】已知函數(shù)．（ 1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間； （ 2）證明：當時，．【答案】 (1)a=； f（ x）在（ 0， 2）單調(diào)遞減，在（ 2， +∞）單調(diào)遞增． (2)證明見解析 .【解析】分析： (1)先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，利用 f′（ 2） =0，求得 a=，從而確定出函數(shù)的解析式，之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式，結(jié)合極值點的位置，從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間； (2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當 a≥時， f（ x）≥，之后構(gòu)造新函數(shù) g（ x） =，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得 g（ x）≥ g（ 1） =0，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果 .詳解：（ 1） f（ x）的定義域為， f′（ x） =aex– ．由題設(shè)知， f′（ 2） =0，所以 a=．從而 f（ x）=， f′（ x） =．當 02 時， f′（ x） 0．所以 f（ x）在（ 0， 2）單調(diào)遞減，在（ 2， +∞）單調(diào)遞增．（ 2）當 a≥時， f（ x）≥．設(shè) g（ x） =，則當 01 時， g′（ x） 0．所以 x=1 是 g（ x）的最小值點．故當 x0時，g（ x）≥ g（ 1） =0．因此，當時，．點睛：該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及證明不等式問題，在解題的過程中，首先要保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，之后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求得參數(shù)值，之后利用極值的特點，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二問在求解的時候構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用不等式的傳遞性證得結(jié)果 .（二 ）選考題：共 10 分。請考生在第 2 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 ，曲線的方程為 .以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為 .（ 1）求的直角坐標方程； （ 2）若與有且僅有三個公共點，求的方程 .【答案】 (1).(2).【解析】分析： (1)就根據(jù)，以及，將方程中的相關(guān)的量代換，求得直角坐標方程； (2)結(jié)合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會出現(xiàn) 三個公共點，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，得到 k 所滿足的關(guān)系式，從而求得結(jié)果 .詳解：（ 1）由，得的直角坐標方程為．（ 2）由（ 1）知是圓心為，半徑為的圓．由題設(shè)知，是過點且關(guān)于軸對稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點．當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．經(jīng)檢驗，當時，與沒有公共點； 當時，與只有一個公共點，與有兩個公共點．當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以 ，故或．經(jīng)檢驗，當時，與沒有公共點； 當時，與沒有公共點．綜上，所求的方程為．點睛：該題考查是有關(guān)坐標系與參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標方程向平面直角坐標方程的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)曲線相交交點個數(shù)的問題，在解題的過程中