【正文】 ?∠ PEO ＝ ∠ EBC ，∠ POE ＝ ∠ ECB ，PE ＝ EB ， ∴△ POE ≌△ ECB . ∴ OE ＝ BC ， OP ＝ EC . ∴ OE ＝ OC . ∴ 點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合 ( 即 EC ＝ 0 ) ． ∴ 點(diǎn) P 與點(diǎn) O 重合 ( 即 PO ＝ 0) ． ∵ 點(diǎn) B ( － 4 ， 4 ) ， ∴ AO ＝ CO ＝ 4. 此時(shí) t ＝ AP 247。1 ＝ 4. ③ 若 BP ＝ BE ， 在 Rt △ BAP 和 Rt △ BCE 中 ， ∵??? BA ＝ BC ，BP ＝ BE ， ∴ Rt △ BAP ≌ Rt △ BCE ( HL ) ． ∴ AP ＝ CE . ∵ AP ＝ t ， ∴ CE ＝ t . ∴ PO ＝ EO ＝ 4 － t . ∵∠ POE ＝ 90 176。 ，AF ＝ CE ， ∴△ F AB ≌△ ECB . ∴ FB ＝ EB ， ∠ FBA ＝ ∠ EBC . ∵∠ EBP ＝ 45 176。 ， ∴∠ ABP ＋ ∠ EBC ＝ 45 176。. ∴∠ FBP ＝ ∠ EBP . 在 △ FBP 和 △ EBP 中 ， ∵?????BF ＝ BE ，∠ FBP ＝ ∠ EBP ，BP ＝ BP ， ∴△ FBP ≌△ EBP . ∴ FP ＝ EP . ∴ EP ＝ FP ＝ FA ＋ AP ＝ CE ＋ AP . ∴ EP ＝ t ＋ t ＝ 2 t . ∴ 2 (4 － t ) ＝ 2 t . 解得 t ＝ 4 2 － 4. ∴ 當(dāng) t 為 4 或 4 2 － 4 時(shí) ， △ PBE 為等腰三角 形． (3) 不變．同理于 (2) ③ ， 易得 PE ＝ AP ＋ CE ， ∴ OP ＋ PE ＋ OE ＝ OP ＋ AP ＋ CE ＋ OE ＝ AO ＋ CO ＝ 4 ＋ 4 ＝ 8. ∴△ POE 的周長(zhǎng)是定值 ， 該定值為 8. 8 ． 如圖 ① ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 矩形 OABC 的頂點(diǎn) O 在坐標(biāo)原點(diǎn) ，頂點(diǎn) A ， C 分別在 x 軸 ， y 軸的正半軸上 ， 且 OA ＝ 2 ， OC ＝ 1 ， 矩形對(duì)角線AC ， OB 相交于 E ， 過(guò)點(diǎn) E 的直線與邊 OA ， BC 分別交于點(diǎn) G ， H . (1) ① 直接寫出點(diǎn) E 的坐標(biāo)： ???? ； ② 求證： AG ＝ CH . (2) 如圖 ② ， 以 O 為圓心 ， OC 為半徑的圓弧交 OA 于 D ， 若直線 GH 與弧 CD 所在的圓相切于矩形內(nèi)一點(diǎn) F ， 求直線 GH 的函數(shù)表達(dá)式． (3) 在 (2) 的結(jié)論下 ， 梯形 ABHG 的內(nèi)部有一點(diǎn) P ， 當(dāng) ⊙ P 與 HG ， GA ， AB都相切時(shí) ， 求 ⊙ P 的半徑． ( 第 8 題圖 ) ????????1， 12 解： (1) ① 根據(jù)矩形的性質(zhì)和邊長(zhǎng)即可求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)是????????1 ，12. ② 證明： ∵ 四邊形 OABC 是矩形 ， ∴ CE ＝ AE ， BC ∥ OA ， ∴∠ HCE ＝ ∠ EAG . 在 △ CHE 和 △ AGE 中 ， ∵?????∠ HCE ＝ ∠ EAG ，CE ＝ AE ，∠ HEC ＝ ∠ GEA ， ∴△ CHE ≌△ AGE ， ∴ AG ＝ CH . (2) 連結(jié) DE 并延長(zhǎng)交 CB 于 M ， 如解圖 ① . ∵ OD ＝ OC ＝ 1 ＝12OA ， ∴ D 是 OA 的中點(diǎn) ， 在 △ CME 和 △ ADE 中 ， ∵?????∠ M CE ＝ ∠ DAE ，CE ＝ AE ，∠ MEC ＝ ∠ DEA ， ∴△ CME ≌△ ADE ， ∴ CM ＝ AD ＝ 2 － 1 ＝ 1. ∵ BC ∥ OA ， ∠ COD ＝ 90176。 ， ∴ HC 切 ⊙ O 于 C ， HG 切 ⊙ O 于 F ， ∴ OH 平分 ∠ CHF ， ∴∠ CHO ＝ ∠ FHO ＝ ∠ BGA . ∵△ CHE ≌△ AGE ， ∴ HE ＝ GE . 在 △ HOE 和 △ GBE 中 ， ∵?????EH ＝ EG ，∠ HEO ＝ ∠ GEB ，OE ＝ BE ， ∴△ HOE ≌△ GBE ， ∴∠ OHE ＝ ∠ BGE . ∵∠ CHO ＝ ∠ FHO ＝ ∠ BGA ， ∴∠ BGA ＝ ∠ BGE ， 即 BG 平分 ∠ FGA . ∵⊙ P 與 HG ， GA ， AB 都相切 ， ∴ 圓心 P 必在 BG 上 ， 過(guò) P 作 PN ⊥ GA ， 垂足 為 N ， 則 △ GPN ∽△ GBA ， ∴PNBA＝GNGA， 設(shè)半徑為 r ， 則r1＝13－ r13， 解得 r ＝14. ∴⊙ P 的半徑是14. 9 ． 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 (4 ， 0 ) ， 且 OA ＝ OC＝ 4 OB ， 動(dòng)點(diǎn) P 在過(guò) A ， B ， C 三點(diǎn)的拋物線上． ( 第 9 題圖 ) (1) 求拋物線的表達(dá)式． (2) 是否存在點(diǎn) P ， 使得 △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形？若存在 ，求出所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在 ， 說(shuō)明理由． (3) 過(guò)動(dòng)點(diǎn) P 作 PE 垂直 y 軸于點(diǎn) E ， 交直線 AC 于點(diǎn) D ， 過(guò)點(diǎn) D 作 x 軸的垂線．垂足為 F ， 連結(jié) EF ， 當(dāng)線 段 EF 的長(zhǎng)度最短時(shí) ， 求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 解： (1) 由點(diǎn) A (4 ， 0 ) ， 可知 OA ＝ 4. ∵ OA ＝ OC ＝ 4 OB ， ∴ OC ＝ OA ＝ 4 ， OB ＝ 1 ， ∴ 點(diǎn) C (0 ， 4 ) ， B ( － 1 ， 0 ) ． 設(shè)拋物線的表達(dá)式是 y ＝ ax2＋ bx ＋ x ， 則?????a － b ＋ c ＝ 0 ，16 a ＋ 4 b ＋ c ＝ 0 ，c ＝ 4 ， 解得?????a ＝－ 1 ，b ＝ 3 ，c ＝ 4. 則拋物線的表達(dá)式是 y ＝－ x2＋ 3 x ＋ 4. (2) 存在．如解圖 ① . 第一種情況 ， 當(dāng)以 C 為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 過(guò)點(diǎn) C 作 CP1⊥ AC ， 交拋物線于點(diǎn)P1. 過(guò)點(diǎn) P1作 y 軸的垂線 ， 垂足是 M . ∵∠ ACP1＝ 90 176。 . ∵∠ ACO ＋ ∠ OAC ＝ 90 176。 ， ∴∠ MCP1＝ ∠ MP1C ， ∴ MC ＝ MP1. 設(shè)點(diǎn) P ( m ， － m2＋ 3 m ＋ 4) ， 則 m ＝－ m2＋ 3 m ＋ 4 － 4 ， 解得： m1＝ 0( 舍去 ) ， m2＝ 2. ∴ － m2＋ 3 m ＋ 4 ＝ 6 ， 即點(diǎn) P (2 ， 6 ) ． 第二種情況 ， 當(dāng)點(diǎn) A 為直角頂點(diǎn)時(shí) ， 過(guò)點(diǎn) A 作 AP2⊥ AC 交拋物線于點(diǎn)P2， 過(guò)點(diǎn) P2作 y 軸的垂線 ， 垂足是 N ， AP2交 y 軸于點(diǎn) F . ∴ P2N ∥ x 軸． ∵∠ CAO ＝ 45 176。 ， ∴∠ FP2N ＝ 45 176。 172， ∴ 當(dāng) EF 最短時(shí) ， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是????????3 ＋ 172， 0 或????????3 － 172， 0 . 10 ． 已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 ， O 是坐標(biāo)原點(diǎn) ， 以 P (1 ， 1 ) 為圓心的 ⊙ P 與 x 軸 ， y 軸分別相切于點(diǎn) M 和點(diǎn) N ， 點(diǎn) F 從點(diǎn) M 出發(fā) ， 沿 x 軸正方向以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng) ， 連結(jié) PF ， 過(guò)點(diǎn) PE ⊥ PF 交 y 軸于點(diǎn) E ，設(shè)點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是 t ( s )( t ＞ 0) ( 第 10 題圖 ) (1) 若點(diǎn) E 在 y 軸的負(fù)半軸上 ( 如圖所示 ) ， 求證： PE ＝ PF . (2) 在點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ， 設(shè) OE ＝ a ， OF ＝ b ， 試用含 a 的代數(shù)式表示 b . (3) 作點(diǎn) F 關(guān)于點(diǎn) M 的對(duì)稱點(diǎn) F ′， 經(jīng)過(guò) M ， E 和 F ′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) Q ， 連結(jié) QE . 在點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ， 是否存在某一時(shí)刻 ， 使得以點(diǎn) Q ， O ， E 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) P ， M ， F 為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在 ， 請(qǐng)直接寫出 t 的值；若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： (1) 證明：如解圖 ① ， 連結(jié) PM ， PN ， ∵⊙ P 與 x 軸 ， y 軸分別相切于點(diǎn) M 和點(diǎn) N ， ( 第 10 題圖解 ① ) ∴ PM ⊥ MF ， PN ⊥ ON ， 且 PM ＝ PN ， ∴∠ PMF ＝ ∠ PNE ＝ 90 176。. ∵ PE ⊥ PF ， ∴∠ NPE ＝ ∠ MPF ＝ 90 176。 2 或 t ＝ 2 － 2 ( 舍去 ) ， 綜上所述 ， 當(dāng) t ＝ 2 － 2 ，1 ＋ 174， 2 ， 2 ＋ 2 時(shí) ， 使得以點(diǎn) Q ， O ， E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) P ， M ， F 為頂點(diǎn)的三角形相似．