【正文】 2＋ 4 a ＋52 ＝－ ( a － 2)2＋132(0 ≤ x ≤ 4) ． ∴ a ＝ 2 時 ， S 四邊形CDBF的面積最大 ， S 最大 ＝132， 此時點 E (2 ， 1 ) ． 3 ． 如圖所示 ， Rt △ ABC 是一張放在平 面直角坐標(biāo)系中的紙片，點 C 與原點 O 重合 ， 點 A 在 x 軸的正半軸上 ， 點 B 在 y 軸的正半軸上 ， 已知 OA ＝ 3 ，OB ＝ 4. 將紙片的直角部分翻折 ， 使點 C 落在 AB 邊上 ， 記為點 D ， AE 為折痕 ，E 在 y 軸上． ( 第 3 題圖 ) (1) 在如圖所示的直角坐標(biāo)系中 ， 求點 E 的坐標(biāo)及 AE 的長． (2) 線段 AD 上有一動點 P ( 不與 A ， D 重合 ) 自點 A 沿 AD 方向以每秒 1 個單位長度向點 D 作勻速運動 ， 設(shè)運動時間為 t (s)(0 ＜ t ＜ 3) ， 過點 P 作 PM ∥ D E交 AE 于 M 點 ， 過點 M 作 MN ∥ AD 交 DE 于 N 點 ， 求四邊形 PMND 的面積S 與時間 t 之間的函數(shù)表達(dá)式．當(dāng) t 取何值時 ， S 有最大值？最大值是多少？ (3) 當(dāng) t (0 ＜ t ＜ 3) 為何值時 ， A ， D ， M 三點構(gòu)成等腰三角形？并求出點 M的坐標(biāo)． 解： (1) 根據(jù)題意 ， 得 △ AOE ≌△ ADE ， ∴ OE ＝ DE ， ∠ ADE ＝ ∠ AOE ＝ 90176。 ， ∴ 四邊形 PMND 是矩形． ∵ AP ＝ t DE ＝t2， ∴ S 矩形P MND＝ PM (3 － t ) ， ∴ S 矩形PM N D＝－12t2＋32t 或 S 矩形P M N D＝－12( t －32)2＋98， 當(dāng) t ＝－322 ????????－12＝32時 ， S 最大 ＝98. (3) △ ADM 為等腰三角形有以下兩種情況： ( Ⅰ ) 當(dāng) MD ＝ MA 時 ， 點 P 是 AD 中點 ， ∴ AP ＝AD2＝32， ∴ t ＝32247。 1 ＝6 55(s) ． ∴ 當(dāng) t ＝6 55 s 時 ， A ， D ， M 三點構(gòu)成等腰三角形 ， 過點 M 作 MF ⊥ OA于點 F . 如解圖 ② . ∵△ AMF ≌△ AMP ， ∴ AF ＝ AP ＝6 55， FM ＝ PM ＝t2＝3 55， ∴ OF ＝ OA － AF ＝ 3 －6 55， ∴ 點 M????????3 －655 ，355 . 4 ． 如圖 ① ， 在矩形 ABCD 中 ， AB ＝ 5 ， AD ＝203， AE ⊥ BD ， 垂足是 E .點 F 是點 E 關(guān)于 AB 的對稱點 ， 連結(jié) AF ， BF . ( 第 4 題圖 ) (1) 求 AE 和 BE 的長． (2) 若將 △ ABF 沿著射線 BD 方向平移 ， 設(shè)平移的距離為 m ( 平移距離指點B 沿 BD 方向所經(jīng)過的線段長度 ) ．當(dāng)點 F 分別平移到線段 AB ， AD 上時 ， 直接寫出相應(yīng)的 m 的值． (3) 如圖 ② ， 將 △ ABF 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn)一個角 α (0 176。 ) ， 記旋轉(zhuǎn)中的 △ ABF 為 △ A ′B F ′， 在旋轉(zhuǎn)過程中 ， 設(shè) A ′F ′所在的直線與直線 AD 交于點 P ， 與直線 BD 交于點 Q . 是否存在這樣的 P ， Q 兩點 ， 使 △ DPQ 為等腰三角形？若存在 ， 求出此時 DQ 的長；若不存在 ， 請說明理由． 解： (1) 在 R t △ ABD 中 ， AB ＝ 5 ， AD ＝203， 由勾股定理 ， 得 BD ＝ AB2＋ AD2＝ 52＋????????2032＝253. ∵ S△ ABD＝12BD AD ， ∴ AE ＝AB ， ∠ 3 ＝ ∠ 4 ， ∴∠ 4 ＝ 90176。 －12∠ 1. ∴∠ A ′QB ＝ ∠ 4 ＝ 90176。 － ∠ A ′QB － ∠ 1 ＝ 90176。 ， ∠ CAF ＝ ∠ DAE ， ∴△ AFC ≌△ AED ， ∴ AF ＝ AE . ∵ 點 A ( m ， －14m2＋ m ) ， 點 B (0 ， m ) ， ∴ AF ＝ AE ＝ | m |， BF ＝ m － ( －14m2＋ m ) ＝14m2， ∵∠ ABF ＝ 90176。 ， ∴△ ABF ∽△ DAE ， ∴BFAF＝AED E， 即14m2| m |＝| m |DE， ∴ DE ＝ 4. (3) ①∵ 點 A 的坐標(biāo)為 ( m ， －14m2＋ m ) ， ∴ 點 D 的坐標(biāo)為 (2 m ， －14m2＋ m ＋ 4) ， ∴ x ＝ 2 m ， y ＝－14m2＋ m ＋ 4 ， ∴ y ＝－14 (3 m )2＋12 PQ 交 x 軸于點C . ( 第 6 題圖 ) (1) 當(dāng)動點 P 與點 B 重合時 ， 若點 B 的坐標(biāo)是 (2 ， 1 ) ， 求 PA 的長． (2) 當(dāng)動點 P 在線段 OB 的延長線上時 ， 若點 A 的縱坐標(biāo)與點 B 的橫坐標(biāo)相等 ， 求 PA ∶ PC 的值． (3) 當(dāng)動點 P 在直線 OB 上時 ， 點 D 是直線 OB 與直線 CA 的交點 ， 點 E是直線 CP 與 y 軸的交點 ， 若 ∠ ACE ＝ ∠ AEC ， PD ＝ 2 OD ， 求 PA ∶ PC 的值． 解： (1) ∵ 點 P 與點 B 重合 ， 點 B 的坐標(biāo)是 (2 ， 1 ) ， ∴ 點 P 的坐標(biāo)是 (2 ， 1 ) ． ∴ PA 的長為 2. (2) 過點 P 作 PM ⊥ x 軸 ， 垂足為 M ， 過點 P 作 PN ⊥ y 軸 ， 垂足為 N ， 如解圖 ① 所示． ( 第 6 題圖解 ① ) ∵ 點 A 的縱坐標(biāo)與點 B 的橫坐標(biāo)相等 ， ∴ OA ＝ AB . ∵ ∠ OA B ＝ 90 176。. ∵∠ AOC ＝ 90 176。. ∵ PM ⊥ x 軸 ， PN ⊥ y 軸 ， ∴ PM ＝ PN ， ∠ ANP ＝ ∠ CMP ＝ 90 176。. ∵∠ APC ＝ 90 176。 － ∠ APM ＝ ∠ CPM . 在 △ ANP 和 △ CMP 中 ， ∵∠ APN ＝ ∠ CPM ， PN ＝ PM ， ∠ ANP ＝ ∠ CMP ， ∴△ ANP ≌△ CMP . ∴ PA＝ PC . ∴ PA ∶ PC 的值為 1 ∶ 1. (3) ① 若點 P 在線段 OB 的延長線上 ， 過點 P 作 PM ⊥ x 軸 ， 垂足為 M ， 過點 P 作 PN ⊥ y 軸 ， 垂足為 N ， PM 與直線 AC 的交點為 F ， 如解圖 ② 所示． ( 第 6 題圖解 ② ) ∵∠ APN ＝ ∠ CPM ， ∠ ANP ＝ ∠ CMP ， ∴△ ANP ∽△ CMP . ∴PAPC＝PNPM. ∵∠ ACE ＝ ∠ AEC ， ∴ AC ＝ AE . ∵ AP ⊥ PC ， ∴ EP ＝ CP . ∵ PM ∥ y 軸， ∴ AF ＝ CF ， OM ＝ CM . ∴ FM ＝12OA . 設(shè) OA ＝ x ， ∵ PF ∥ OA ， ∴△ PDF ∽△ ODA . ∴PFOA＝PDOD. ∵ PD ＝ 2 OD ， ∴ PF ＝ 2 OA ＝ 2 x . ∵ FM ＝12OA ＝12x . ∴ PM ＝52x . ∵∠ APC ＝ 90176。 ， ∴ OC ＝ 15 x . ∵∠ PNO ＝ ∠ NOM ＝ ∠ OMP ＝ 90176。 (t， t) (2) 當(dāng) t 為何值時 ， △ PBE 為等腰三角形？ (3) 探索 △ POE 周長是否隨時間 t 的變化而變化？若變化 ， 說明理由；若不變 ， 試求這個定值． 解： (1) 由題意 ， 得 AP ＝ OQ ＝ 1 t ＝ t ， ∴ AO ＝ PQ . ∵ 四邊形 OABC 是正方形 ， ∴ AO ＝ AB ＝ BC ＝ OC ， ∠ BAO ＝ ∠ AOC ＝ ∠ OCB ＝ ∠ ABC ＝ 90176。 . ∴∠ BP A ＝ 90176。 ，∠ BP A ＝ ∠ PDQ ，BA ＝ PQ ， ∴△ BAP ≌△ PQD . ∴ AP ＝ QD ， BP ＝ PD . ∵∠ BPD ＝ 90176。. ∵ AP ＝ t ， ∴ QD ＝ t . ∴ 點 D 的坐標(biāo)為 ( t ， t ) ． (2) ① 若 PB ＝ PE ， 則 ∠ PBE ＝ ∠ PEB ＝ 45 176。. ∵∠ BP D ＝ 90 176。. ∴∠ BEP ＝ 90 176。 － ∠ BEC ＝ ∠ EBC . 在 △ POE 和 △ ECB 中 ， ∵ ????