對(duì)構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的再研究-閱讀頁
2024-10-26 17:38本頁面
【正文】 故f(x)=f(x)＜0 ∴x12xx2＜0，即x12x＜x2三、構(gòu)造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明不等式【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：a + b + c＜abc + 2。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax2 +(b + c)x +(a + b + c)(a≠0)則f(0)=a + b + c，f(1)=2(a + c)由(a + c)(a + b + c)＜0知：f(0)?f(1)＜0 ∴f(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x2+ 2(a + b)x + a2 + b2=(x + a)2 +(x + b)2 ≥0∵2＞0∴△=[2(a+b)]242(a2 + b2)≤0∴△=4(5c)28(9c2)≤0 ∴(c1)(3c7)≤0∴1≤c≤213同理可證：1≤a≤21，1≤b≤2133。⒉利用一元二次方程根的分布證明不等式【例7】設(shè)a + b + c=1，a2 + b2 + c2 =1，且a＞b＞c，求證：13＜c＜0證明：∵a + b + c=1∴a + b =1c有a2 + b2 + 2ab=1c∴a，b是方程x2(1c)x+c2c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∵a＞b＞c，故方程有大于c的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根構(gòu)造函數(shù)f(x)= x2(1c)x+c2c，則有：236。D=(1c)24(c2c)＞0239。1c＞c239。238。a+a2+2b22b1，aa2+2b22b1證明：設(shè)f(x)=bx2axb2(b≠0)∵△=(a)22b(b)=a2+2b2＞0∴拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為x=a177。故兩個(gè)不等式至少有一個(gè)成立。第五篇：構(gòu)造函數(shù)證明不等式在含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解決，可將一邊整理為零，而另一邊為某個(gè)字母的二次式，這時(shí)可考慮用判別式法。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。解析：令f(a)=a2+(3b+c)a+c2+3b2+3bc⊿＝(3b+c)24(c2+3b2+3bc)=3(b+c)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)179。0恒成立。：a,b,c206。234。235。236。2 消去c得：此方程恒成立，a+(b2)a+b2b+1=0，22238。0，即：0163。233。同理可求得a,c206。0,33② 構(gòu)造函數(shù)逆用判別式證明不等式對(duì)某些不等式證明，若能根據(jù)其條件和結(jié)論，結(jié)合判別式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造二項(xiàng)平方和函數(shù)：f(x)=(a1xb1)2+(a2xb2)2+K+(anxbn)2由f(x)179。,b,c,d206。解析：構(gòu)造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。R+且a+b+c=1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。0（當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=,c=時(shí)取等號(hào)），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當(dāng)a=,b=,c=時(shí)，(++)min=36 632abc構(gòu)造函數(shù)證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性+例巳知a、b、c∈R，且a b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。a+x+，其中x∈R，0b+xb+x證明：令 f（x）= ∵ba0 ba+ 在R上為減函數(shù) b+xba+從而f（x）= 在R上為增函數(shù)b+x∴y= ∵m0 ∴f（m） f（0）∴a+ma b+mb例求證：a+b1+a+b≤a+b1+a+b（a、b∈R）[分析]本題若直接運(yùn)用比較法或放縮法，很難尋其線索。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x 而 0得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域?yàn)閇—，]即可。另證：類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡單。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變元的函數(shù)，然后根據(jù)變元函數(shù)的值域來求解a，從而說明常數(shù)a的存在性。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222（lgx+lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1+222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy 而 lgx0,lgy0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy ∴ 1從而要使原不等式對(duì)于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。運(yùn)用函數(shù)的奇偶性xx證明不等式：xxx2xx ∵f（x）== x+ x122212xxx[1(12)]+ 12x2xx =x+= f(x)x122 = ∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱x ∵當(dāng)x0時(shí)，12
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