蘇教版選修2-2高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明章末測(cè)試-閱讀頁(yè)
2024-12-25 09:28本頁(yè)面
【正文】 ： ① 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， S1＝－ 23＝－ 1＋ 11＋ 2，猜想正確． ② 假設(shè)當(dāng) n＝ k(k? N*)時(shí)猜想正確，即 Sk＝－ k＋ 1k＋ 2， 那么 Sk＋ 1＝－ 1Sk＋ 2＝－ 1－ k＋ 1k＋ 2＋ 2＝－ ?k＋ 1?＋ 1?k＋ 1?＋ 2，這表明當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)猜想也正確． 根據(jù) ① ， ② 可知對(duì)任意 n? N*， Sn＝－ n＋ 1n＋ 2. 18． (本小題滿分 16 分 )由下列各個(gè)不等式： 1＞ 12， 1＋ 12＋ 13＞ 1,1＋ 12＋ 13＋ 14＋ ? ＋ 17＞ 32，1＋ 12＋ 13＋ 14＋ ? ＋ 115＞ 2， ? ，你能得 到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明． 解 根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜測(cè)第 n個(gè)不等式，即一般不等式為 1＋ 12＋ 13＋ 14＋ ? ＋ 12n－ 1＞ n2(n? N*)． 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： (1)當(dāng) n＝ 1 時(shí)， 1＞ 12，猜想成立． (2)假設(shè)當(dāng) n＝ k(k? N*)時(shí)，猜想成立，即 1＋ 12＋ 13＋ 14＋ ? ＋ 12k－ 1＞ k2， 則當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)， 1＋ 12＋ 13＋ 14＋ ? ＋ 12k－ 1＋ 12k＋ 12k＋ 1＋ ? ＋ 12k＋ 1－ 1＞ k2＋ 12k＋12k＋ 1＋ ? ＋12k＋ 1－ 1＞k2＋12k＋ 1＋12k＋ 1＋ ? ＋12k＋ 1＝k2＋2k2k＋ 1＝k＋ 12 ， 即當(dāng) n＝ k＋ 1 時(shí)，猜想也正確． 由 (1)(2)知，不等式對(duì)一切 n? N*都成立． 19． (本小題滿分 16 分 )在 Rt△ ABC中， AB⊥ AC， AD⊥ BC 于 D， 求證： 1AD2＝ 1AB2＋ 1AC2，那么在四面體 A BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由． 解 如圖 ① 所示，由射影定理知 AD2＝ BDBC， AC2＝ BCDC ＝ BC2BDDCAC2. 又 BC2＝ AB2＋ AC2， ∴ 1AD2＝ AB2＋ AC2AB213n－ 1＝ 23n. 所以 an＝ 2n－ 1， bn＝ 23n. (2) 因?yàn)?Sn＝ 1＋ ?2n－ 1?2 n＝ n2， 所以 Sn＋ 1＝ (n＋ 1)2， 1bn＝ 3n2 . 下面比較 1bn與 Sn＋ 1的大小： 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， 1b1＝ 32， S2＝ 4，所以 1b1S2， 當(dāng) n＝ 2 時(shí)， 1b2＝ 92， S3＝ 9，所以 1b2S3， 當(dāng) n＝ 3 時(shí)， 1b3＝ 272 ， S4＝ 16，所以 1b3S4， 當(dāng) n＝ 4 時(shí)， 1b4＝ 812 ， S5＝ 25，所以 1b4S5. 猜想： n≥ 4 時(shí)， 1bn＞ Sn＋ 1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ① 當(dāng) n＝ 4 時(shí)，已證． ② 假設(shè)當(dāng) n＝ k(k? N*， k≥ 4)時(shí)， 1bkSk＋ 1，即 3k2＞ (k＋ 1)2， 那么， 1bk＋ 1＝ 3k＋ 12 ＝ 31
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