高中數(shù)學蘇教版選修2-2【基礎過關】第一章章末檢測-閱讀頁
2024-12-25 06:24本頁面
【正文】 x， f′ (x)＝－ 2x2＋ ln x＋ 1， f(1)＝ 2， f′ (1)＝－ 1， 故 y－ 2＝－ (x－ 1)． 所以曲線 y＝ f(x)在 x＝ 1處的切線方程為 x＋ y－ 3＝ 0. (2)存在 x1， x2∈ [0,2]，使得 g(x1)－ g(x2)≥ M成立，等價于： [g(x1)－ g(x2)]max≥ M， g(x)＝ x3－ x2－ 3， g′ (x)＝ 3x2－ 2x＝ 3x?? ??x－ 23 ， x 0 ?? ??0，23 23 ?? ??23， 2 2 g′ (x) － 0 ＋ g(x) － 3 遞減 極 (最 )小值－8527 遞增 1 由上表可知： g(x)min＝ g?? ??23 ＝－ 8527， g(x)max＝ g(2)＝ 1， [g(x1)－ g(x2)]max＝ g(x)max－ g(x)min＝ 11227， 所以滿足條件的最大整數(shù) M＝ 4. (3)對任意的 s， t∈ ?? ??12， 2 ，都有 f(s)≥ g(t)成立 ． 等價于：在區(qū)間 ?? ??12， 2 上，函數(shù) f(x)的最小值不小于 g(x)的最大值， 由 (2)知，在區(qū)間 ?? ??12， 2 上， g(x)的最大值為 g(2)＝ 1. ∴ f(x)min≥ ∵ f(1)＝ a， ∴ a≥ 1. 下面證當 a≥ 1時，在區(qū)間 ?? ??12， 2 上，函數(shù) f(x)≥ 1成立 ． 當 a≥ 1且 x∈ ?? ??12， 2 時， f(x)＝ ax＋ xln x≥ 1x＋ xln x， 記 h(x)＝ 1x＋ xln x， h′ (x)＝－ 1x2＋ ln x＋ 1， h′ (1)＝ 0， 當 x∈ ?? ??12， 1 時， h′ (x)＝－ 1x2＋ ln x＋ 10； 當 x∈ (1,2]時， h′ (x)＝－ 1x2＋ ln x＋ 10， 所以函數(shù) h(x)＝ 1x＋ xln x在區(qū)間 ?? ??12， 1 上遞減， 在區(qū)間 (1,2]上遞增， h(x)min＝ h(1)＝ 1，即 h(x)≥ 1， 所以當 a≥ 1且 x∈ ?? ??12， 2 時， f(x)≥ 1成立， 即對任意 s， t∈ ?? ??12， 2 都有 f(s)≥ g(t)．
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