新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-2第二章推理與證明單元測(cè)試1-閱讀頁(yè)
2024-12-05 04:35本頁(yè)面
【正文】 這就證明了如果一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等，那么圓的面積比正方形的面積最大． 20．已知實(shí)數(shù) 滿足 ， ，求證 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 證明：假設(shè) 都是非負(fù)實(shí)數(shù)，因?yàn)? ， 所以 ，所以 ， ， 所以 ， 這與 已知 相矛盾，所以原假設(shè)不成立，即證得 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)． 21．設(shè) ， （其中 ，且 ）． （ 1） 請(qǐng)你推測(cè) 能否用 來(lái)表示； （ 2）如果（ 1）中獲得了一個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你推測(cè)能否將其推廣． 解：（ 1）由 ， 又 ， 因此 ． （ 2） 由 ，即 ， 于是推測(cè) ． 證明：因?yàn)? ， （大前提）． 所以 ， ， ，（小前提及結(jié)論） 所以 ． 22．若不等式 對(duì)一切正整數(shù) 都成立，求正整數(shù) 的最大值，并證明結(jié)論． 解：當(dāng) 時(shí)， ，即 ， 所以 ． 而 是正整數(shù)，所以取 ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ． （ 1）當(dāng) 時(shí)，已證； （ 2）假設(shè)當(dāng) 時(shí)，不等式成立，即 ． 則當(dāng) 時(shí)， 有 ． 因?yàn)? ， 所以 ， 所以 ． 所以當(dāng) 時(shí)不等式也成立． 由（ 1）（ 2）知，對(duì)一切正整數(shù) ，都有 ， 所以 的最大值等于 25．
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