【正文】 ( ) ) ,y n A y n g y n? ? ? ? ?256?? 定理 ? ? ? ?, , 0g n y o y y??。 證明：給出 ? ? ? ?0,nmn m M n m n? ?? ? ? ?和由 常數(shù)變化得到的 010 0 0 0( , , ) ( , ) ( , 1 ) ( )nrny n n y n n y n r g r??? ? ? ? ??可以將 方程 ? ?256?? 寫成 010 0 0 0( , , ) ( , ) ( , 1 ) ( , ( ) )njny n n y n n y n j g j y j??? ? ? ? ?? 從而 001() 1 ( )0( ) ( , ( ) )nnn njjny n M y M g j y j? ? ??? ????? ? ? ?2 5 10?? 天津 職業(yè)技術師范大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 16 對于給定的 0?? ， 0?? 有 ? ?,g j y y?? ，只要 ? ?,g j y y?? ，方程 ? ?2 5 10?? 就能變?yōu)? 001 10( ) ( )nnnjjny n M y y j? ? ????? ? ??????????? ? ?2 5 11?? 令 ? ? ? ?nz n y n??? ，然后 用 Gronwall 不等式 將方程轉化為 001 10( ) 1nnnjny n y M? ? ??????? ???? ??? 從而有， 00( ) ( ) nny n y M?? ??? ? ?2 5 12?? 令 ? ?1M?? ?? ，則 1M????。 推論 ? ? 1A? ? ，那么方程 ? ?256?? 的零解是成指數(shù)穩(wěn)定的。 定理 4. 若 ? ? 1A? ? ，則方程 ? ?256?? 的零解可能是穩(wěn)定的或者是不穩(wěn)定的 。 定理 5.（離散 Gronwall 不等式）令 ??zn和 ??hn為兩個實數(shù)序列。 在傳染病存在于種群中的時候。若傳染病恢復后不具有免疫力，即染病者恢復后又成為易感者。模型一般適用于由細菌引起的傳染病。 設被隔離者恢復后也不具有免疫力，即恢復后又成為易感者，這時相應的傳染病模型被稱為 SIQS模型。其中 ? 為疾病的傳播系數(shù)， b 為出生率， ? 為染病者的恢復率， ? 為染病率和被隔離的因病死亡率， ? 為隔離者的恢復率， ? 為對染病者的隔離率。以上參數(shù)都是正的。 ? ?? ?111n n n n n n n nn n n n nn n n nS S b N d S S I I QI I S I d IQ Q I d Q? ? ?? ? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 因為 n n n nN S I Q? ? ? 則 可以得到 1 n n nnnnS I QNNN? ? ? 則模型可以轉換為 nS ， nI ， nQ 在 nN 所占比例的差分方程模型。 則模型變換為 ? ?? ?111n n n n n n nn n n n nn n n nS b d S S I I Q SI S I d I IQ I d Q Q? ? ?? ? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 又因為 1 n n nS I Q? ? ? 則 1n n nQ S I? ? ? 代 入 原模型變換為 ? ?? ?111n n n n n n n nn n n n nS b d S S I I S I SI S I d I I? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??? 所以該模型的平衡點是 1 ,0bX d ??? ?????????和 ? ? ? ? ? ?? ?2 ,b d ddX d? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ??? 天津 職業(yè)技術師范大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 21 平衡點的穩(wěn)定性 則對于 ? ?2 ,X S I? ? ??的雅可比矩陣是 ? ?1 1d I SJ I S d? ? ? ? ?? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ??? 則 ? ? ? ? ? ? ? ?d e t 1 1J d I S d S I? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 將 ? ? ? ? ? ?? ?2 ,b d ddX d? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?代 入 ? ?11Sd? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 01S? ? ? ?? ? ? ? ? 則 det 0J? 20trJ d I???? ? ? ? ? 1 det 2trJ J? ? ? 根據(jù)定理假設 ? ? ? ?, , 0g n y o y y??。則我們就可 以稱平衡點 2X? 是漸近穩(wěn)定的。 ? ?101bddJb dd?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??????? ? ? ? ???? 則 J 的特征值為 1 1 d??? ? ? 和 ? ?2 1b dd ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? 因為我們知道參數(shù)都是大于零小于一的。 當 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時 天津 職業(yè)技術師范大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 22 2 1?? 則根據(jù)定理如果 ? ? 1A? ? ，系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的。 所以在平衡點 2X? 是漸近穩(wěn)定的。在 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時 不能確定它是否穩(wěn)定。本文主要對一個模型進行了定性分析。 當然對于傳染病值得研究的內容還很多。在實際生活中，影響傳染病傳播的因素很多，比如不同 形式的傳染率，多個區(qū)域同時傳播等等，因而傳染病模型的研究具有很重要的現(xiàn)實意義，因為傳染病與人類的生存息息相關，所以傳染病的研究前景和意義都是不可估量的，本人還需要更多的學習數(shù)學方法和計算機的技巧，以便能夠綜合運用傳染病動力學知識，更好地來研究更多更復雜的數(shù)學模型。42:599653 [2]Feng Z,Thieme H outbreaks of childhood disease impact of isolation[J].Math Biosci,1995。168:150167 [4]Feng Z,Thieme H R. Endemic models with arbitrarily distributed periods of infection. Ⅰ :General theory [J].SIAM J Appl Math,20xx。 Maple 符號處理及應用 [M].北京：國防工業(yè)出版社， 20xx [6]馬知恩，周義倉，王穩(wěn)地，靳禎．傳染病動力學的數(shù)學建模與研究 [M]．北京：科學出版社， [7]馬知恩種群生態(tài)學的數(shù)學建模與研究 [M]合肥 ,安徽教育出版社， 1996 [8]余賀，龍振洲．醫(yī)學微生物學 [M]．北京：人民衛(wèi)生出版社， 1985； 106108 [9]Allen L J S, Jones M A, Martin C discretetime model with vaccination for a measles epidemic [J]. Mathematical Biosciences,1991,105:111131 [10] Allen L J S. Thrasher D B. The effects of vaccination in an agedependent model for varicella and herpes zoster [J]. IEEE Transactions on Automatic Control,:779789 [11]陳蘭蓀，陳鍵。一類帶有接種的流行病模型的全局的穩(wěn)定性 [J].數(shù)學物理學報，20xx， 26A（ 1）： 2130 [15]Lu Zhonghua , Chi Xuebin , Chen Lansu. The effect of constant and pulse vaccination on SIR epidemic model [J]. Mathematical and Computer Modeling,20xx,31:207215 天津 職業(yè)技術師范大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 25 致 謝 在本文即將成文之際，我要由衷地感謝在我畢 業(yè)論文階段，幫助和支持過我的老師和同學！ 首先衷心地感謝我的導師呂曉靜副教授！在這十幾周里，呂老師一直對我悉心指導，在學習和科研方面給了我大量的輔導 ， 文中的每一步都傾注著 呂 老師無微不至的關懷、教導和鼓勵 .經過這一段時間的學習，我不僅學到了知識，掌握了研究此類問題的方法，也獲得了實踐鍛煉的機會，這為我以后的學習生涯提供了寶貴的經驗。 最后，衷心地感謝在百忙之中抽出時間審閱本論文的各位