傳染病傳播的數(shù)學模型-閱讀頁
2025-04-19 03:21本頁面
【正文】 受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類的人數(shù)I(t)與第二類人粉S(t)的乘積。在這三條假設情況下可得如下微分方程： ………… ()其中r、λ為比例常數(shù)，r為傳染率，λ為排除率。方程組 () 的第一個和第二個方程與 R(t) 無關(guān)。又有I(0)=－∞， 由連續(xù)函數(shù)的中間值定理及單調(diào)性知，存在唯一點，使得, 而當 時，I(S)＞0 。當 時，方程()的的圖形如圖23。因此，如果小于ρ，則 I(t) 單調(diào)減少到零，S(t) 單調(diào)減少到。如果，則隨著 S(t) 減少到ρ時，I(t) 增加，且當S=ρ時，I(t) 達到最大值。由上分析可以得出如不結(jié)論：只有當居民中的易受傳染者的人數(shù)超過閾值 時傳染病才會蔓延。當人口擁擠，密度高，缺少應有的科學文化知識，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時，傳染病會很快蔓延；反之，人口密度低，社會條件好，有良好的醫(yī)療條件和較好的管理而排除率高時，則傳染病在有限范圍內(nèi)出現(xiàn)會很快被消滅。并設最初傳染者人數(shù)很小，則最終患病人數(shù)為2r。這就是有名的傳染病閾值定理。這定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時，每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。因為只有那些來醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來防止傳染。所以，為了把數(shù)學模型所預示的結(jié)果同疾病的實際情況進行比較，必須解出()中的第三個方程。疾病傳染曲線很好地說明了實際發(fā)生的傳染病的情況：每天報告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又減少下來。這就表明模型()是在固定居民中傳染病傳播的準確而可靠的數(shù)學模型。本節(jié)所介紹的傳染病傳播的數(shù)學模型的建模方法，是實際數(shù)學建模步驟和方法的典型例子。這是值得大家仿效和學習
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