傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型-閱讀頁
2025-04-19 03:21本頁面
【正文】 受傳染者人數(shù)S(t)的變化率正比于第一類的人數(shù)I(t)與第二類人粉S(t)的乘積。在這三條假設(shè)情況下可得如下微分方程： ………… ()其中r、λ為比例常數(shù)，r為傳染率，λ為排除率。方程組 () 的第一個(gè)和第二個(gè)方程與 R(t) 無關(guān)。又有I(0)=－∞， 由連續(xù)函數(shù)的中間值定理及單調(diào)性知，存在唯一點(diǎn)，使得, 而當(dāng) 時(shí)，I(S)＞0 。當(dāng) 時(shí)，方程()的的圖形如圖23。因此，如果小于ρ，則 I(t) 單調(diào)減少到零，S(t) 單調(diào)減少到。如果，則隨著 S(t) 減少到ρ時(shí)，I(t) 增加，且當(dāng)S=ρ時(shí)，I(t) 達(dá)到最大值。由上分析可以得出如不結(jié)論：只有當(dāng)居民中的易受傳染者的人數(shù)超過閾值 時(shí)傳染病才會(huì)蔓延。當(dāng)人口擁擠，密度高，缺少應(yīng)有的科學(xué)文化知識(shí)，缺乏必要的醫(yī)療條件，隔離不良而排除率低時(shí)，傳染病會(huì)很快蔓延；反之，人口密度低，社會(huì)條件好，有良好的醫(yī)療條件和較好的管理而排除率高時(shí)，則傳染病在有限范圍內(nèi)出現(xiàn)會(huì)很快被消滅。并設(shè)最初傳染者人數(shù)很小，則最終患病人數(shù)為2r。這就是有名的傳染病閾值定理。這定理解釋了研究人員長(zhǎng)期以來難以解釋的為什么對(duì)于某一民族或地區(qū)，某種傳染病傳播時(shí)，每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。因?yàn)橹挥心切﹣磲t(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病，并把他們隔離起來防止傳染。所以，為了把數(shù)學(xué)模型所預(yù)示的結(jié)果同疾病的實(shí)際情況進(jìn)行比較，必須解出()中的第三個(gè)方程。疾病傳染曲線很好地說明了實(shí)際發(fā)生的傳染病的情況：每天報(bào)告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值，然后又減少下來。這就表明模型()是在固定居民中傳染病傳播的準(zhǔn)確而可靠的數(shù)學(xué)模型。本節(jié)所介紹的傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型的建模方法，是實(shí)際數(shù)學(xué)建模步驟和方法的典型例子。這是值得大家仿效和學(xué)習(xí)
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