【正文】 車站到各村莊的距離和最小，車站應(yīng)設(shè)在哪里？A1CBA2A3A4A5DEA7A6F公路【解析】 本題可簡化為“B，C，D，E，F(xiàn)處分別站著1，1，2，2，1個人(見右圖)，求一點，使所有人走到這一點的距離和最小”．顯然D、E最大，靠攏完的結(jié)果變成了D=4，E=3，所以車站設(shè)在D點．【例 16】(奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫)某鄉(xiāng)共有六塊麥地，每塊麥地的產(chǎn)量如右圖．試問麥場設(shè)在何處最好？(運(yùn)輸總量的千克千米數(shù)越小越好．)3000千克F2000千克EAG6000千克4000千克BD5000千克C1000千克【解析】 依據(jù)“小往大靠”，“支往干靠”．我們不妨以FECD為干，顯然麥場設(shè)在C點．當(dāng)然你以其他路經(jīng)為干，都會的到同樣結(jié)果．譬如：若以FECA為干，那么依據(jù)“支往干靠”，D就靠到C，B移到G，當(dāng)作“干”上一成員．板塊三、合理布線和調(diào)運(yùn)【例 17】 新建的自來水廠要給沿公路的十個村莊供應(yīng)自來水(如下圖，距離單位為千米)，要安裝水管有粗細(xì)兩種選擇，粗管足夠供應(yīng)所有村莊使用，細(xì)管只能供一個村用水，粗管每千米要用8000元，細(xì)管每千米要2000元，如果粗細(xì)管適當(dāng)搭配，互相連接，可以降低費用，怎樣安排才能使這項工程費用最低？費用是多少元？自來水廠30A5B2C4D2E3F2G2H2I5J【解析】 由于細(xì)管相對于粗管來講，價錢要少一些，因此先假設(shè)都用細(xì)管．那么從自來水廠到J村要鋪設(shè)10根細(xì)管，自來水廠到I村要鋪設(shè)9根細(xì)管，依次下去，我們用圖表示鋪細(xì)管的情況．因為粗管是細(xì)管價格的4倍，如果用細(xì)管代替粗管重疊數(shù)超過4條費用更大，僅在3條或3條以下才會節(jié)約，而細(xì)管只能供應(yīng)一村用水，所以粗管從水廠一直接到G村為止，再用三條細(xì)管連接H、I、J三個村，這樣費用最低，總費用：8000180。（2180。2+5）=414000(元)．【例 18】(奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫)有十個村莊，座落在從縣城出發(fā)的一條公路上，現(xiàn)要安裝水管，從縣城供各村自來水．可以用粗、細(xì)兩種水管，粗管每千米7000元，細(xì)管每千米2000元．粗管足夠供應(yīng)所有各村用水，細(xì)管只能供應(yīng)一個村用水，各村與縣城間距離如右圖所示(圖中單位是千米)，現(xiàn)要求按最節(jié)約的方法鋪設(shè)，總費用是多少？30縣城A1524232225A10A2A3A4A5A6A7AA89【解析】 由于細(xì)管相對于粗管來講，價錢要少一些，因此先假設(shè)都用細(xì)管．那么從縣城到A1村要鋪設(shè)10根細(xì)管，A1村到A2村要鋪設(shè)9根細(xì)管，依次下去，我們用圖表示鋪細(xì)管的情況．因為粗管每千米7000元，細(xì)管每千米2000元，所以4根細(xì)管的價錢將大于1根粗管的價錢．這樣一來，凡是超過3根細(xì)管的路段，都應(yīng)改鋪粗管． 因此，從縣城到A7村鋪1根粗管，A7村到A8村鋪3根細(xì)管，A8村到A9村鋪2根細(xì)管，A9村到A10村鋪1根細(xì)管．總費用為： 7000180。（2180。2+5180。7+1000180。5=12600(元)．方法二：本題也可以采用下面的代數(shù)方法解決，設(shè)北京調(diào)運(yùn)杭州x臺，調(diào)運(yùn)西安(11x)臺，則洛陽應(yīng)調(diào)運(yùn)杭州(7x)臺，調(diào)運(yùn)西安9（11x）=x2(臺)，總運(yùn)費W=800x+1000（11x）+700（7x）+600（x2）=800x+110001000x+4900因為要使總運(yùn)費14700300x最小，需要300x最大． 700x+600x1200=14700300x，由于x是北京調(diào)運(yùn)杭州的臺數(shù)，且x≤7，所以當(dāng)x=7時，總運(yùn)費W=14700300180。5+500180。6=9700(元)．⑵ 如果改為看表中的列，那么由于第一列的差價為700500=200(元)，第二列差價為(元)，所以武漢需要的機(jī)器應(yīng)盡量從上海調(diào)運(yùn)，而上海只有6臺，不足的部1000600=400分由北京調(diào)運(yùn)．這個結(jié)論同前面得到的相同．【例 20】 北京和上海同時制成了電子計算機(jī)若干臺，除了供應(yīng)本地外，北京可以支援外地10臺，上?？梢灾С滞獾?臺．現(xiàn)決定給重慶8臺，漢口6臺，若每臺計算機(jī)的運(yùn)費如右表，上海和北京制造的機(jī)器完全相同，應(yīng)該怎樣調(diào)運(yùn)，才能使總的運(yùn)費最??？最省的運(yùn)費是多少？運(yùn)費/元到站發(fā)站北京上海漢口43重慶85【解析】 方法一：本題中雖然上海到漢口的運(yùn)費最少，只有3百元，但是上海到漢口比北京到漢口只節(jié)省(43=)1百元，相比之下，上海到重慶比北京到重慶要節(jié)省(85=)3百元．所以重慶所需臺數(shù)應(yīng)由上海盡量滿足，即上海的4臺全部調(diào)運(yùn)重慶，北京再補(bǔ)給重慶4臺，漢口的6臺從北京調(diào)運(yùn)．總運(yùn)費為：5180。4+4180。6，所以當(dāng)x=6時，總運(yùn)費W=882180。10+12180。12+25180。3+40180。3+20180。五個基地人員總數(shù)為17+4+16+14+9=60（人）依題意，調(diào)整后每個基地應(yīng)各有60247。因此，需要從多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、經(jīng)試驗容易得到調(diào)整方案如下：先從D調(diào)2人到E，這樣E尚缺1人；再由A調(diào)1人給E，A尚多余4人，C也多余4人，總共8人全部調(diào)到B，則B亦符合要求?！纠?24】 下圖是一個交通示意圖，A、B、C是產(chǎn)地(用●表示，旁邊的數(shù)字表示產(chǎn)量，單位：噸)，D、E、F是銷地(用○表示，旁邊的數(shù)字表示銷量，單位：噸)，線段旁邊有括號的數(shù)字表示兩地每噸貨物的運(yùn)價，單位：百元(例如B與D兩地，由B到D或由由D到B每噸貨物運(yùn)價100元)．將產(chǎn)品由產(chǎn)地全部運(yùn)往銷地，怎樣調(diào)運(yùn)使運(yùn)價最?。孔钚∵\(yùn)價是多少？E5(6)(4)C6(4)8(3)5FA(3)D(1)9B5第3題【解析】 為了運(yùn)價最小，圖中可以直接看出B地的5噸貨物，必然要運(yùn)往D，這個時候D還差95=4(噸)．一定需要從A運(yùn)4噸．之后A剩下84=4噸．之后分兩種情況．如果A的4噸全部運(yùn)往F，之后把C中的1噸運(yùn)往F，5噸運(yùn)往E．總共需要運(yùn)費為5180。3+4180。4+5180。1+4180。4+1180。4=59(百元)=5900(元)．E4A4D5B1FC5圖1板塊四、其他最優(yōu)化問題【例 25】 用10尺長的竹竿做原材料，來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎么截法最合算？【解析】 分析 不難想到有三種截法省料：截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，無殘料； 截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，殘料1尺； 截法3：截成4尺、4尺兩段，殘料2尺?！纠?26】 山區(qū)有一個工廠．它的十個車間分散在一條環(huán)行的鐵道上．四列貨車在鐵道上轉(zhuǎn)圈運(yùn)送貨物。當(dāng)然，裝卸工可以固定在車間等車；也可以坐在貨車上跟車到各車間去干活；也可以一部分裝卸 工固定在車間，另一部分跟車．問怎樣安排跟車人數(shù)和各車間固定人數(shù)，才能使裝卸工的總?cè)藬?shù)最少？最少需多少名工人？【解析】 如跟車人數(shù)為57，則各車間都不用安排人，但這樣在需要人數(shù)少的車間，浪費人力,不行；為此找出各車間人數(shù)的平均數(shù)，后再調(diào)整。若 跟車人數(shù)為46，由于需人數(shù)多于46的有四個車間，貨車上增多的人數(shù)與四個車間減少的人數(shù)一樣。2=8(分鐘相連，只需要4180。4+2+0+4+1+0+0=23人，如果每輛車配5人，此時共有裝卸工4180。6+0+0+2+0+0+0=26人，如上我們發(fā)現(xiàn)人數(shù)是越來越多的，23小于24小于26，故最少23人．【鞏固】 一個工廠有7個車間，分散在一條環(huán)形鐵路上，三列火車循環(huán)運(yùn)輸產(chǎn)品．每個車間裝卸貨物所需工人數(shù)為212130．若改為部分工人跟車，部分工人固定在車間，那么安排多少名裝卸工，所用總?cè)藬?shù)最合理？【解析】 一個工廠有7個車間，分散在一條環(huán)形鐵路上，三列火車循環(huán)運(yùn)輸產(chǎn)品．每個車間裝卸貨物所需工人數(shù)為212130，．若改為部分工人跟車，部分工人固定在車間，那么安排多少名裝卸工，所用總?cè)藬?shù)最合理．如果車上不跟人，各車間所需人數(shù)和為：10+15+18+20+25+27+30=147(人)，如果每列車上跟1人，共多3人；每個車間可少1人，共少7人，多3少7，可減少4人．每列車上跟10人，總?cè)藬?shù)可減少40人．從11至15，列車上每增加1人，總?cè)藬?shù)可減少3人． 從16至18，列車上每增加1人，總?cè)藬?shù)可減少2人． 從19至20，列車上每增加1人，總?cè)藬?shù)可減少1人． 21增3減3無意義．總?cè)藬?shù)為 20180。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計算。問：小梅家的雞與兔各有多少只？分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有216＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了4432＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。（42）=6（只），有雞166＝10（只）。當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有416＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當(dāng)作兔了。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)。（42）=10（只），有兔16——10＝6（只）。因此這類問題也叫置換問題。問：大、小和尚各有多少人？ 分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）。2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。問：兩種文化用品各買了多少套？分析與解：我們設(shè)想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需1916＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以買普通文化用品 24247。學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。問：雞、兔各多少只？分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零?，F(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少4＋2＝6（只），而180247。解：有兔（2100——20）247。答：有雞70只，兔30只。問：大、小瓶各有多少個？分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。（4＋2）＝30（個），大瓶有5030＝20（個）。一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下436=144（噸）。這樣每輛小卡車能裝144247。由此可求出這批鋼材有多少噸。（4536）45＝720（噸）。例3 樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費。=（元）。247。解：（500－）247。答：共打破3只花瓶。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了12（2＋3）＝60（下）。（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了903=270（下），因此小喜比小樂共多跳780——2702＝240（下）。/ 4【課堂鞏固訓(xùn)練題】1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？2．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學(xué)生進(jìn)行活動。問：買活頁簿、日記本各幾本？4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：這幾天中共有幾個雨天？學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。已知每只大筐比每只小筐多裝運(yùn)20千克，那么這批水果有多少千克？9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。/ 4第五篇：四年級奧數(shù)雞兔同籠問題雞兔同籠問題雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題?！纠}講解及思維拓展訓(xùn)練題】例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：大、小和尚各有多少人？彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：雞、兔各多少只？【思維拓展訓(xùn)練二】學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。問：大、小瓶各有多少個？一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。問：搬運(yùn)過程中共打破了幾只花瓶？【思維拓展訓(xùn)練三】小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。2 / 52．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學(xué)生進(jìn)行活動。問：買活頁簿、日記本各幾本？4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。3 / 56．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。已知每只大筐比每只小筐多裝運(yùn)20千克，那么這批水果有多少千克？9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。問：雞、兔各幾只？學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西