20xx春魯教版數(shù)學(xué)九下53垂徑定理練習(xí)題-閱讀頁(yè)
2024-12-18 16:57本頁(yè)面
【正文】 分別是 AC、 BC 的中點(diǎn)， 直線 EF 與⊙ O 交于 G、 H 兩點(diǎn)，若⊙ O 的半徑為 7， 則 GE+FH 的最大值為 ． 考點(diǎn)：此題一般考查的是與圓有關(guān)的計(jì)算，考查有垂徑定理、相交弦定理、圓心角與圓周角的關(guān)系，及扇形的面積及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式等知識(shí)點(diǎn)。連接 OA， OB， 因?yàn)?∠ ACB=30176。所以 OA=OB=AB=7，因?yàn)?E、 F中 AC、 BC的中點(diǎn)， 所以 EF=AB21=，因?yàn)?GE+FH=GH－ EF，要使 GE+FH 最大，而 EF 為定值，所以 GH 取最大值時(shí) GE+FH有最大值，所以當(dāng) GH為直徑時(shí)， GE+FH的最大值為 = 2（ 2021 年廣州市） 如圖 7，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 在第一象限，P?與 x軸交于 O,A 兩點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 6,0）， P?的半徑為13，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ____________. 分析： 過(guò)點(diǎn) P 作 PD⊥ x軸于點(diǎn) D，連接 OP，先由垂徑定理求出OD 的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出 PD 的長(zhǎng)，故可得出答案． 解： 過(guò)點(diǎn) P 作 PD⊥ x軸于點(diǎn) D，連接 OP， ∵ A（ 6， 0）， PD⊥ OA， ∴ OD=OA=3， 在 Rt△ OPD 中， ∵ OP= ， OD=3， C A B C G H E F 第 16 題圖 ∴ PD= = =2， ∴ P（ 3， 2）． 故答案為 ：（ 3， 2）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 (2021年深圳市 )如圖 5 所示，該小組發(fā)現(xiàn) 8 米高旗桿 DE 的影子 EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開展了測(cè)算小橋所在圖的半徑的活動(dòng)。 解析 ： （ 2021?白銀）如圖，在 ⊙ O 中，半徑 OC 垂直于弦 AB，垂足為點(diǎn) E． （ 1）若 OC=5， AB=8，求 tan∠ BAC； （ 2）若 ∠ DAC=∠ BAC，且點(diǎn) D 在 ⊙ O 的外部，判斷直線 AD 與 ⊙ O 的位置關(guān)系，并加以證明． 考點(diǎn) ： 切線的判定；勾股定理；垂徑定理． 專題 ： 計(jì)算題． 分析： （ 1）根據(jù)垂徑定理由半徑 OC垂直于弦 AB， AE=AB=4，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出 OE=3，則 EC=2，然后在 Rt△ AEC 中根據(jù)正切的定義可得到 tan∠ BAC 的值； （ 2）根據(jù)垂徑定理得到 AC 弧 =BC 弧，再利用圓周角定理可得到 ∠ AOC=2∠ BAC， 由于 ∠ DAC=∠ BAC，所以 ∠ AOC=∠ BAD，利用 ∠ AOC+∠ OAE=90176。然后根據(jù)切線的判定方法得 AD 為 ⊙ O 的切線． 解答： 解：（ 1） ∵ 半徑 OC 垂直于弦 AB， ∴ AE=BE=AB=4， 在 Rt△ OAE 中， OA=5， AE=4， ∴ OE= =3， ∴ EC=OC﹣ OE=5﹣ 3=2， 在 Rt△ AEC 中， AE=4， EC=2， ∴ tan∠ BAC= ==； （ 2） AD 與 ⊙ O 相切．理由如下： ∵ 半徑 OC 垂直于弦 AB， ∵ AC 弧 =BC 弧， ∴∠ AOC=2∠ BAC， ∵∠ DAC=∠ BAC， ∴∠ AOC=∠ BAD， ∵∠ AOC+∠ OAE=90176。 ∴ OA⊥ AD， ∴ AD 為 ⊙ O 的切線． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線的判定定理：過(guò)半徑的外端點(diǎn)且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了勾股定理以及垂徑定理、圓周角定理． 3（ 2021?黔西南州）如圖， AB 是 ⊙ O的直徑，弦 CD⊥ AB 與點(diǎn) E，點(diǎn) P 在 ⊙ O 上， ∠ 1=∠ C， （ 1）求證： CB∥ PD； （ 2）若 BC=3， sin∠ P=35 ，求 ⊙ O 的直徑． 考點(diǎn) ： 圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義． 專題 ： 幾何綜合題． 分析： （ 1）要證明 CB∥ PD，可以求得 ∠ 1=∠ P，根據(jù) = 可以確定 ∠ C=∠ P，又知 ∠ 1=∠ C，即可得 ∠ 1=∠ P； （ 2）根據(jù)題意可知 ∠ P=∠ CAB，則 sin∠ CAB=，即 =35 ，所以可以求得圓的直徑． 解答： （ 1）證明： ∵∠ C=∠ P 又 ∵∠ 1=∠ C ∴∠ 1=∠ P ∴ CB∥ PD； （ 2）解：連接 AC ∵ AB 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。 CF=2，求 GA 的 長(zhǎng)． 考點(diǎn) ： 切線的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 3718684 專題 ： 證明題． 分析： （ 1）連結(jié) OC，由 C是劣弧 AE 的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得 OC⊥ AE，而 CG∥ AE，所以 CG⊥ OC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論； （ 2）連結(jié) AC、 BC，根據(jù)圓周角定理得 ∠ ACB=90176。根據(jù)等角的余角相等得到 ∠ B=∠ 2，所以 ∠ 1=∠ 2，于是得到 AF=CF； （ 3）在 Rt△ ADF 中，由于 ∠ DAF=30176。 ∴∠ 2+∠ BCD=90176。 ∴∠ B=∠ 2， ∵ AC 弧 =CE 弧， ∴∠ 1=∠ B， ∴∠ 1=∠ 2， ∴ AF=CF； （ 3）解：在 Rt△ ADF 中， ∠ DAF=30176。請(qǐng)直接寫出 ∠ DCA的度數(shù)． 考點(diǎn) ： 垂徑定理；含 30 度角的直角三角形；圓周角定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）． 分析： （ 1）過(guò)點(diǎn) O 作 OE⊥ AC 于 E，根據(jù)垂徑定理可得 AE= AC，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE= r，然后在 Rt△ AOE 中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解； （ 2）連接 BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出 ∠ ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出 ∠ B，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到 所對(duì)的圓周角，然后根據(jù) ∠ ACD等于 所對(duì)的圓周角減去 所對(duì)的圓周 角，計(jì)算即可得解． 解答： 解：（ 1）如圖，過(guò)點(diǎn) O 作 OE⊥ AC 于 E， 則 AE= AC= 2=1， ∵ 翻折后點(diǎn) D 與圓心 O 重合， ∴ OE= r， 在 Rt△ AOE 中， AO2=AE2+OE2， 即 r2=12+（ r） 2， 解得 r= ； （ 2）連接 BC， ∵ AB 是直徑， ∴∠ ACB=90176。 ∴∠ B=90176。﹣ 25176。 根據(jù)翻折的性質(zhì)， 所對(duì)的圓周角等于 所對(duì)的圓周角， ∴∠ DCA=∠ B﹣ ∠ A=65176。=4017
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