【正文】 20．如圖，在 Rt△ ABC 中，∠ B=90176。 AB=6， BC=8，即可求得個線段長，繼而求得答案． 【解答】 解：取 AC 的中點 O，過點 O 作 MN∥ EF， PQ∥ EH， ∵四邊形 EFGH 是矩形， ∴ EH∥ PQ∥ FG， EF∥ MN∥ GH，∠ E=∠ H=90176。 BD 是∠ ABC 的平分線，求∠ BDC 的度數(shù)． 【考點】 平行四邊形的性質(zhì)；全等三 角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】 證明題． 【分析】 （ 1）根據(jù)四邊形 ABCD 是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到一對邊和一對角的對應相等，在加上已知的一對邊的相等，利用“ SAS”，證得△ ADE≌△ CBF，最后根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得證； （ 2）首先根據(jù) AB=AC，利用等角對等邊和已知的∠ A的度數(shù)求 出∠ ABC和∠ C的度數(shù)，再根據(jù)已知的 BD 是∠ ABC 的平分線，利用角平分線的定義求出∠ DBC 的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ BDC 的度數(shù)． 【解答】 （ 1）證明：∵四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AD=BC，∠ A=∠ C， 在△ ADE 和△ CBF 中， AD=CB ，∠ A=∠ C ， AE=CF， ∴△ ADE≌△ CBF（ SAS）， ∴ DE=BF； （ 2）解：∵ AB=AC，∠ A=40176。 40176。 又 BD 是∠ ABC 的平分線， ∴∠ DBC=12∠ ABC=35176。 ∠ DBC∠ C=75176。 xx167。百分比即可； （ 3）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式：若 n 個數(shù) x1， x2， x3，?， xn 的權(quán)分別是 w1， w2，w3，?， wn，則 1 1 2 212nnnx w x w x wx w w w? ? ????? ??，進行計算即可； 【解答】 解：（ 1）數(shù)據(jù) 出現(xiàn)了 100 次，次數(shù)最多，所以節(jié)水量的眾數(shù)是 （米 3）； 位置處于中間的數(shù)是第 150 個和第 151 個，都是 ，故中位數(shù)是 米 3． （ 2） 100300 100% 360176。； （ 3）（ 50 1+80 + 100+3 70）247。角的頂點放在菱形 ABCD的頂點 A處，繞點A 左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板 60176。 可以判定△ AEF 是等邊三角形； ②本小問為計算型問題．要點是確定一對相似三角形△ CAE∽△ CFG，由對應邊的比例關(guān)系求出 CG 的長度．解答： 【解答】 解：（ 1）∵四邊形 ABCD 是菱形， ∴△ AOB 為直角三角形，且 OA= 12 AC=1， OB=12 BD= 3 ． 在 Rt△ AOB 中，由勾股定理得： AB= 2 2 2 21 ( 3 ) 2O A O B? ? ? ?． （ 2）①△ AEF 是等邊三角形．理由如下： ∵由（ 1）知，菱形邊長為 2， AC=2， ∴△ ABC 與△ ACD 均為等邊三角形， ∴∠ BAC=∠ BAE+∠ CAE=60176。 ∴∠ BAE=∠ CAF． 在△ ABE 與△ ACF 中， ∵∠ BAE=∠ CAF ， AB=AC=2 ，∠ EBA=∠ FCA=60176。 ∴△ AEF 是等邊三角形． ② BC=2， E 為四等分點， 且 BE＞ CE， ∴ C E=12 ， BE=32 ． 由①知△ ABE≌△ ACF， ∴ CF=BE=32 ． ∵∠ EAC+∠ AEG+∠ EGA=∠ GFC+∠ FCG+∠ CGF=180176。（等邊 三角形內(nèi)角）， ∠ EGA=∠ CGF（對頂角） ∴∠ EAC=∠ GFC． 在△ CAE 與△ CFG 中， ∵ ∠ EAC=∠ GFC ，∠ ACE=∠ FCG=60176。從 而求出其三角函數(shù)值；由圓周角定理，確定△ BO1C 為等腰直角三角形，從而求出半徑的長度； （ 3）如答圖 2 所示，首先利用圓及拋物線的對稱性求出點 D 坐標，進而求出點 M的坐標和線段 BM的長度；點 B、 P、 C 的坐標已知，求出線段 BP、 BC、 PC 的長度；然后利用△ BMN∽△ BPC相似三角形比例線段關(guān)系，求出線段 BN 和 MN的長度；最后利用兩點間的距離公式，列出方程組，求出點 N 的坐標． 【解答】 解：（ 1）∵拋物線 y=ax2+bx+3 與 x軸相交于點 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）， ∴ 9 3 3 030abab? ? ??? ? ? ??， 解得 a=1， b=4， ∴拋物線的解析 式為： y=x2+4x+3． （ 2）由（ 1）知，拋物線解析式為： y=x2+4x+3， ∵令 x=0，得 y=3， ∴ C（ 0， 3）， ∴ OC=OA=3，則△ AOC 為等腰直角三角形， ∴∠ CAB=45176。 ∴△ BO1C 為等腰直角三角形， ∴⊙ O1的半徑 O1B= 22 BC= 5 ． （ 3）拋物線 y=x2+4x+3=（ x+2） 21， ∴頂點 P 坐標為（ 2， 1），對稱軸為 x= 2． 又∵ A（ 3， 0）， B（ 1， 0），可知點 A、 B 關(guān)于對稱軸 x=2 對稱． 如答圖 2所示，由圓及拋物線的對稱性可知：點D、點 C（ 0， 3）關(guān)于對稱軸對稱， ∴ D（ 4， 3）． 又∵點 M 為 BD 中點， B（ 1， 0）， ∴ M（ 52? ， 32 ）， ∴ BM= 225 3 3[ ( 1 ) ] ( ) 22 2 2? ? ? ? ?； 在△ BPC 中， B（ 1， 0）， P（ 2， 1）， C（ 0， 3）， 由兩點間的距離公式得： BP= 2 ， BC= 10 ，PC=25． ∵△ BMN∽△ BPC， ∴ ??BM BN MNBP BC PC，即322 2 10 2 5??B N M N， 解得： 3 102?BN ， MN 35? ． 設(shè) N（ x， y），由兩點間的距離公式可得： 2 2 22 2 23( 1 ) ( 10 )253( ) ( ) ( 3 5 )22xyxy? ? ? ????? ? ? ? ???， 解之得， 117232xy? ????? ???， 221292xy? ????? ???? ∴點 N 的坐標為（ 72， 32?）或（ 12， 92?）． 【點評】 本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圓的性質(zhì)、相似三角形、勾股定理、兩點間的距離公式等重要知識點，涉及的考點較多，試題難度較大．難點在于第（ 3）問，需要認真分析題意，確定符合條件的點 N有兩個，并畫出草圖；然后尋找線段之間的數(shù)量關(guān)系，最終正確求得點 N 的坐標． 709885341