20xx高中數(shù)學人教b版必修二117柱、錐、臺和球的體積word學案2-閱讀頁
2024-12-17 23:55本頁面
【正文】 體剛好是這個球的內(nèi)接長方體，那么這個長方體的對角線便是它的外接球的直徑．設原正方體棱長為 a，球的半徑為 R， 則根據(jù) 長方體的對角線性質，得 (2R)2＝ a2＋ a2＋ (2a)2， 即 4R2＝ 6a2，所以 R＝ 62 a. 從而 V 半球 ＝ 23πR 3＝ 23π( 62 a)3＝ 62 πa 3， V 正方體 ＝ a3. 因此 V 半球 ∶V 正方體 ＝ 62 πa 3∶a 3＝ 6π∶2. 變式訓練 2 解 設正方體的棱長 a. (1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點是六個面的中心，經(jīng)過四個切點及球心作截面 ，如圖 (1)， 所以有 2r1＝ a， r1＝ a2，所以 S1＝ 4πr 21＝ πa 2. (2)球與正方體各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，如圖 (2)， 2r2＝ 2a， r2＝ 22 a，所以 S2＝ 4πr 22＝ 2πa 2. (3)正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖 (3)，所以有2r3＝ 3a， r3＝ 32 a， 所以 S3＝ 4πr 23＝ 3πa 2. 綜上知 S1∶S 2∶S 3＝ 1∶2∶3. 例 3 解 由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面． 根據(jù)切線性質知，當球在容器內(nèi)時，水深為 3r，水面的半徑為 3r，則容器內(nèi)水的體積為 V＝ V 圓錐 － V 球 ＝ 13π3r － 43πr 3＝ 53πr 3，而將球取出后，設容器內(nèi)水的深度為 h，則水面圓的半徑為 33 h，從而容器內(nèi)水的體積是 V′ ＝ 13πh ＝ 19πh 3， 由 V＝ V′ ， 得 h＝ 3 15r. 變式訓練 3 解 (1)如圖， 作軸截面，則等腰三角形 CAB內(nèi)接于 ⊙O ，而 ⊙O 1內(nèi)切于 △ABC. 設 ⊙O 的半徑為 R，由題意得 43πR3＝ 972π. ∴R 3＝ 729， ∴R ＝ 9， ∴CE ＝ 18. 已知 CD＝ 16， ∴ED ＝ 2. 連接 AE， ∵CE 是直徑， CA⊥AE ， CA2＝ CDDE ＝ 162 ＝ 32， ∴AD ＝ 4 2.∴S 圓錐側 ＝ π12 2＝ 96π. (2)設內(nèi)切球 O1的半徑為 r， ∵△ABC 的周長為 2(12 2＋ 4 2)＝ 32 2， ∴ 12r16 21
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