人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第1章14第2課時微積分基本定理-閱讀頁
2024-12-08 01:21本頁面
【正文】 ) 如圖 ① 所示， f ( x ) 0 ，????abf ( x )d x 0 ， ∴ S ＝????abf ( x )d x . ( 2 ) 如圖 ② 所示， f ( x ) 0 ，????abf ( x )d x 0 ， ∴ S ＝ |????abf ( x )d x |＝－????abf ( x )d x . ( 3 ) 如圖 ③ 所示，當(dāng) a ≤ x ≤ c 時， f ( x ) 0 ，????acf ( x )d x 0 ， 當(dāng) c ≤ x ≤ b 時， f ( x ) 0 ，????cbf ( x )d x 0 ， ∴ S ＝ |????acf ( x )d x |＋????cbf ( x )d x ＝－????acf ( x )d x ＋????cbf ( x )d x . 2 ．由兩條曲線 f ( x ) 和 g ( x ) ，直線 x ＝ a ， x ＝ b ( a b ) 所圍成平面圖形的面積 S . ( 1 ) 如圖 ① 所示，當(dāng) f ( x ) g ( x ) 0 時， S ＝????ab[ f ( x ) － g ( x )]d x . ② 如圖 ② 所示，當(dāng) f ( x ) 0 ， g ( x ) 0 時， S ＝????abf ( x )d x ＋ |????abg ( x )d x |＝????ab[ f ( x ) － g ( x ) ] d x . 3 ．求平面圖形面積的步驟以及注意事項 ( 1 ) 步驟： ① 畫函數(shù)的圖象，聯(lián)立方程組求出曲線的交點的坐標(biāo)． ② 將平面圖形的面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積． ③ 確定被積函數(shù)和積分區(qū)間，計算定積分，求出面積． ( 2 ) 注意事項：根據(jù)圖形特點選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量，若公共積分區(qū)間在 x 軸上，選取 x 為積分變量；若公共積分區(qū)間在 y軸上，選取 y 為積分變量，要把函數(shù)變形成用 y 表示 x 的函數(shù)． 求 x軸與正弦曲線 y＝ sinx在 [0,2π]上圍成的圖形的面積 ． [ 解析 ] 圖形如圖所示． S ＝????02 π| sin x |d x ＝????0πsin x d x －????π2 πsin x d x ＝ ( － c os x )|π0－ ( － c os x )|2ππ＝ 2 － ( － 2) ＝ 4. 三、導(dǎo)數(shù)和定積分的聯(lián)系 導(dǎo)數(shù)與定積分是微積分學(xué)中兩個最重要最基本的概念，運用它們之間的聯(lián)系，可以找出求定積分的方法．導(dǎo)數(shù)與定積分互為逆運算． 微積分基本定理表明，計算定積 分????abf ( x )d x 的關(guān)鍵是找到滿足 F ′ ( x ) ＝ f ( x ) 的函數(shù) F ( x ) ．通常，我們可以運用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則從反方向上求出 F ( x ) ． 注意： ( 1 ) 運用微積分基本定理的關(guān)鍵是找原函數(shù)，故求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則必須熟記． ( 2 ) 在積分時一定要注意積分上、下限的選擇，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用． 在曲線 y ＝ x2( x ≥ 0) 上某一點 A 處作一切線，使之與曲線以及 x 軸所圍圖形的面積為112，試求：切 點 A 的坐標(biāo)以及過切點 A的切線方程． [ 解析 ] 如圖所示，設(shè)切點 A ( x 0 ， y 0 ) ，由y ′ ＝ 2 x ，過 A 點的切線方程為 y － y 0 ＝ 2 x 0 ( x －x 0 )，即 y ＝ 2 x 0 x － x20 . 令 y ＝ 0 ，得 x ＝x02，即 C (x02， 0) ． 設(shè)由曲線和過點 A 的切線及 x 軸所圍成圖形的面積為 S ， S ＝ S 曲邊 △AOB－ S △ABC， S 曲邊 △AOB＝????0x0x2d x ＝13x3| x00＝13x30. S △ABC＝12| BC | | AB |＝12( x0－x02)1
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