人教b版高中數(shù)學選修2-2第2章推理與證明-閱讀頁
2024-12-07 20:10本頁面
【正文】 對稱圖形． 與圓的有關(guān)性質(zhì)相比較，可以推測球的有關(guān)性質(zhì)： 圓 球 (1) 圓心與弦 ( 非直徑 ) 球心與截面圓 ( 非軸截面 ) 中點的連 線垂直于弦 圓心的連線垂直于截面 (2) 與圓心距離相等的 與球心距離相等的兩個 兩條弦長相等 截面圓面積相等 (3) 圓的周長 c ＝ π d 球的表面積 S ＝ π d2 (4) 圓的面積 S ＝π4d2 球的體積 V ＝π6d3 由實數(shù)構(gòu)成的集合 A 滿足條件：若 a ∈ A ， a ≠ 1 ，則11 － a∈ A ，證明： (1) 若 2 ∈ A ，則集合 A 必有另外兩個元素，并求出這兩個元素； (2) 非空集合 A 中至少有三個不同元素． [ 分析 ] 從集合中的元素滿足的條件 “ 若 a ∈ A ，則1a － 1∈A ( a ≠ 1) ” 出發(fā)；當 a ＝ 2 時，依次進行檢驗，即可得證． [ 證明 ] (1) ∵ a ∈ A ， a ≠ 1 ，則1a － 1∈ A . ∴ 2 ∈ A 時，有11 － 2＝－ 1 ∈ A . 由于－ 1 ≠ 1 ，有11 － ? － 1 ?＝12∈ A . 由于12≠ 1 ，有11 －12＝ 2 ∈ A . 如此循環(huán)可知集合 A 中的另外兩個元素為12，－ 1. (2) ∵ 集合 A 非空，故存在 a ∈ A ， a ≠ 1 ，有11 － a∈ A ， ∴11 － a∈ A 且11 － a≠ 1 ， 即 a ≠ 0 時，有11 －11 － a＝a － 1a∈ A ，即如此循環(huán)出現(xiàn)三個數(shù) a ，11 － a，a － 1a∈ A . 若 a ＝11 － a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，方程無實根． 若11 － a＝a － 1a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，方程無實根． 若 a ＝a － 1a，則 a2－ a ＋ 1 ＝ 0 ，方程無實根． ∴ a ，11 － a，a － 1a互不相等，故集合 A 中至少有三個不同元素． [ 方法總結(jié) ] 本題考查了集合的定義、性質(zhì)、二次方程的根等知識，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力 . 綜合法和分析法是兩種思路截然相反的證明方法 ， 應(yīng)用綜合法證明問題時 ， 必須首先想到從哪里開始起步 ， 分析法就可以幫助我們克服這種困難 ． 在實際證明問題時 ， 應(yīng)當把分析法和綜合法綜合起來使用 ， 轉(zhuǎn)換解題思路 ， 增加解題途徑 ． 綜合法和分析法 若 sin α ＋ c os α ＝ 1 ，求證： sin 6 α ＋ cos 6 α ＝ 1. [ 分析 ] 由三角函數(shù)的基本關(guān)系式 sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ，從sin 6 α ＋ cos 6 α 出發(fā)，借助于立方和公式將待證式的次數(shù)降低后再進行證明． [ 證明 ] sin6α ＋ cos6α ＝ (s in2α )3＋ (cos2α )3 ＝ (s in2α ＋ c os2α ) (s in4α － sin2α cos2α ＋ cos4α ) ＝ sin4α ＋ 2s in2α cos2α ＋ cos4α － 3sin2α cos2α ＝ 1 － 3s in2α cos2α ， 要證 sin6α ＋ cos6α ＝ 1 ，只需證 sin2α q ” ，由此進行推理，如果發(fā)生矛盾，那么 就說明 “ 若 p ，則 1
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