人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章12第2課時導數(shù)公式表及數(shù)學軟件的應用-閱讀頁
2024-12-08 01:21本頁面
【正文】 y －32＝－12( x －π6) ． 即 6 x ＋ 12 y － 6 3 － π ＝ 0. 導數(shù)的綜合應用 設曲線 f ( x ) ＝ x 上有點 P ( x 1 ， y 1 ) ，與曲線切于點P 的切線為 m ，若直線 n 過 P 且與 m 垂直，則稱 n 為曲線在點 P 處的法線，設 n 交 x 軸于點 Q ，又作 PR ⊥ x 軸于點 R ，求 RQ 的長． [ 分析 ] 已知 P 點坐標，求出切線 m 的斜率，故可表示出直線 n 的方程，分別表示出 Q ， R 兩點橫坐標， RQ 長度即可求出． [ 解析 ] 因為 f ( x ) ＝ x ＝ x12 ，所以 f ′ ( x ) ＝12 x－12 ＝12 x，所以 f ′ ( x1) ＝12 x1. 因為 n 與 m 垂直，所以 n 的斜率為－ 2 x1， 所以直線 n 的方程為： y － y1＝－ 2 x1( x － x1) ． 令 y ＝ 0 ，則－ y1＝－ 2 x1( xQ－ x1) ，所以 xQ＝12＋ x1. 容易知道 xR＝ x1，于是， | RQ |＝ | xQ－ xR|＝12. [ 方法總結 ] 正確地求出函數(shù) f ( x ) ＝ x 的導數(shù)是解本題的關鍵．為此要求學生熟記常用函數(shù)的導數(shù)，以防出錯． 求證：雙曲線 xy＝ 1上任何一點處的切線與坐標軸構成的三角形面積為常數(shù) ． [ 證明 ] 由 xy ＝ 1 ，得 y ＝1x，所以 y ′ ＝－1x2 . 如圖，在雙曲線 xy ＝ 1 上任取一點P ( x0，1x0) ，則過點 P 的切線的斜率 k ＝－1x20.切線方程為 y －1x0＝－1x20( x － x0) ，即 y＝－1x20x ＋2x0. 設該切線與 x 軸、 y 軸分別相交于 A 、 B 兩點，則 A (2 x0,0) 、B (0 ，2x0) ， 故 S △OA B＝12| OA | |2x0|＝ 2. 所以雙曲線上任意一點處的切線與坐標軸構成的三角形的面積為常數(shù) . 下列各式中正確的是 ( ) A ． ( si n α ) ′ ＝ c o s α ( α 是常數(shù) ) B ． ( c o s x ) ′ ＝ si n x C ． ( si n x ) ′ ＝ c o s x D ． ( x－ 5) ′ ＝－15x－ 6 [錯解 ] A [辨析 ] 當 α為常數(shù)時， sinα也是常數(shù)．所以 (sinα)′＝ 0. [正解 ] C 導數(shù)公式表與數(shù)學軟件的應用??????? 常數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的導數(shù) ? 掌握 ?基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 ? 掌握 ?基本初等函數(shù)導數(shù)公式的應用 ? 掌握 ?數(shù)學軟件的應用 ? 了解 ?
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