【正文】 用功率譜的概念進(jìn)行討論，所以通常稱為譜分析。因此，在研究時(shí)間序列的周期波動(dòng)方面，它具有時(shí)域方法所無法企及的優(yōu)勢。譜分析（ spectral analysis）的實(shí)質(zhì)是把時(shí)間序列 X 的變動(dòng)分解成不同的周期波動(dòng)之和。 （ 對(duì)所有的 i， j） （對(duì)所有的 i ? j） 67 可以計(jì)算得到 X 的方差： 在這里很有趣的是， X 的方差可以由 n個(gè)方差 ?j2 的和來表示。68 頻率 ? 和周期 p 有如下關(guān)系：頻率 ? 周期 = ? ? p = 2? () 時(shí)間序列 X 的變動(dòng)可以分解成各種不同頻率波動(dòng)的疊加和，根據(jù)哪種頻 率的波動(dòng)具有更大的貢獻(xiàn)率來解釋 X 的周期波動(dòng)的成分，這就是譜分析（頻率分 析）名稱的緣由。譜分析中的核心概念是功率譜密度函數(shù)（簡稱功率譜），它集中反映了時(shí)間序列中不同頻率分量對(duì)功率或方差的貢獻(xiàn)程度。如圖所示，白噪音的功率譜是水平的。圖的橫軸為頻率，頻率下面是對(duì)應(yīng)的周期。在這個(gè)功率譜圖中， [0， ?]的頻率對(duì)應(yīng)的周期從 ? 到 2期，（由于譜密度函數(shù)的對(duì)稱性，圖中只給出 [0， ?]間的譜圖）。圖 的隨機(jī)過程，因?yàn)殚L周期變動(dòng)的比重高，所以表明是以長期波動(dòng)為主要特征的隨機(jī)過程。經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)多數(shù)具有顯著的上升趨勢，所以 Granger（1996）指出： “經(jīng)濟(jì)變量的典型的譜形狀是如圖 的功率譜。進(jìn)一步地，圖 率譜集中在某個(gè)特定的頻數(shù)附近的情形，意味著這個(gè)隨機(jī)過程變動(dòng)的大部分是由這個(gè)頻數(shù)所確定的周期波動(dòng)。上面的變換可以用延遲算子表示為 ()其中：73 由這種變換構(gòu)成的延遲多項(xiàng)式被稱為 線性濾波線性濾波 (linear filter)，或只稱為濾波。由譜分析的知識(shí)可知， {yt} 的功率譜可以表示為 ()其中： fy(?)和 fx(?)分別是 {yt}和 {xt}的功率譜，關(guān)于 ei?=cos?isin?的指數(shù)函數(shù) W( ei?)被定義為： ()其中 ： i 是滿足 i2=1的虛數(shù) 。 74 w(?)=W(ei?)稱為 濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)濾波的頻率響應(yīng)函數(shù) (frequency response function)。因此，變換后的功率譜給定為實(shí)數(shù)。 要想得到理想的濾波，需要無限階移動(dòng)平均。這樣根據(jù)式 ()就可以將輸入中所有在這個(gè)頻率帶中的分量 “過濾 ”掉，留下其他成分。 76例例 差分濾波的效果差分濾波的效果 現(xiàn)在設(shè)時(shí)間序列 {xt}有功率譜 fx(?) 。如果原來的時(shí)間序列 {xt} 的功率譜如圖 (b)，趨勢很強(qiáng)，作為差分結(jié)果的 {yt} 的功率譜就如圖 (c) 的形狀。 圖圖 差分濾波的圖形差分濾波的圖形79 4．帶通濾波．帶通濾波 可以使得在頻率帶 ?L1|?| ?L2 的范圍內(nèi)，頻率響應(yīng)函數(shù)為 1，而其他區(qū)間為 0。頻率為 ?的循環(huán)的周期是 p=2?/?，切斷頻率為 ?c、 截?cái)帱c(diǎn)為n的近似的低通濾波可以記為 LPn(p)，意味著周期大于等于p(=2?/?c)的那些成份將保留。前者是說，濾波在剔除不想保留的成分的同時(shí)，也將想要保留下來的一部分成分剔除掉了；后者是指頻率響應(yīng)函數(shù)在大于 1和小于 1兩種狀態(tài)之間擺動(dòng)。但是， n不能選擇太大，因?yàn)槟菢觾啥藢⑷笔н^多數(shù)據(jù)。 因此，在周期 p為 18， q為 60的帶通濾波的理想的頻率響應(yīng)函數(shù)在[1/60， 1/18]的頻率區(qū)間的取值應(yīng)為 1。在序列對(duì)象的菜單中選擇 Proc/ Frequency Filter，顯示圖 。共有 3種類型： （ 1） BK固定長度對(duì)稱濾波（ Fixed length symmetric (BaxterKing， BK)）； （ 2） CF固定長度對(duì)稱濾波（ Fixed length symmetric (ChristianoFitzgerald， CF)）； （ 3）全樣本長度非對(duì)稱濾波（ Full sample asymmetric(ChristianoFitzgerald)）。如果使用固定長度對(duì)稱濾波，還必須指定先行 /滯后（Lead/lag）項(xiàng)數(shù) n。這個(gè)區(qū)間由一對(duì)數(shù)據(jù) （ PL， PU） 描述， PL、 PU 由 BandPass濾波要保留的循環(huán)波動(dòng)成分所對(duì)應(yīng)的周期來確定。 EViews將根據(jù)數(shù)據(jù)類型填入了默認(rèn)數(shù)值。因此，設(shè)定 PL=18， PU=60（ 相當(dāng)于例 p和 q）。對(duì)于 BK和 CF固定長度對(duì)稱濾波而言， Eviews 畫出頻率響應(yīng)函數(shù) w(?)，頻率 ? 的區(qū)間是 [0， ]，右面的圖描述了頻率響應(yīng)函數(shù)。 86 用戶需要輸入希望保存的結(jié)果（循環(huán)成分、趨勢成分）對(duì)象的名字。用戶還能得到在濾波中所用的 BandPass濾波頻率響應(yīng)函數(shù)的權(quán)序列，它將存儲(chǔ)在矩陣對(duì)象中。取對(duì)數(shù)后的序列記為 lnsl。然后對(duì) lnsl進(jìn)行季節(jié)調(diào)整去掉季節(jié)和不規(guī)則要素，得到只包含趨勢循環(huán)要素的序列 lnsl_TC。 取 p = 18 (?p = 1/18)， q = 60 (?q = 1/60)，利用式 ()帶通濾波方法希望得到只保留 ～ 5年周期成分的濾波序列。 88 圖圖 紅線表示紅線表示 BP(p,q)濾波頻率響應(yīng)函數(shù)濾波頻率響應(yīng)函數(shù) 藍(lán)線表示帶通濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)藍(lán)線表示帶通濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)89 圖圖 藍(lán)線表示藍(lán)線表示 lnSL的原序列的原序列 紅線表示趨勢要素序列紅線表示趨勢要素序列 lnSL_T 由于 BP濾波兩端各損失 18個(gè)月的數(shù)據(jù)，所以循環(huán)要素序列 lnsl_C（圖 ）和趨勢要素序列 lnsl_T（圖 ）的數(shù)據(jù)序列長度為 1982年 1月～ 2023年 12月。92 圖圖 紅線表示紅線表示 HP濾波得到的濾波得到的 趨勢要素序列趨勢要素序列 藍(lán)線表示藍(lán)線表示 BP濾波得到的濾波得到的 趨勢要素序列趨勢要素序列 93 圖圖 紅線表示紅線表示 HP濾波得到的濾波得到的 循環(huán)要素序列循環(huán)要素序列 藍(lán)線表示藍(lán)線表示 BP濾波得到的濾波得到的 循環(huán)要素序列循環(huán)要素序列94167。當(dāng)只有少數(shù)觀測值時(shí)這種方法是有效的。下面，我們對(duì) EViews中的指數(shù)平滑法作簡要討論。 yt 平滑后的序列 計(jì)算公式如下 , , t = 2, 3, …, T其中 : , ? 為平滑因子。96 單指數(shù)平滑的預(yù)測對(duì)所有未來的觀測值都是常數(shù)。要開始遞歸，我們需要 和 ? 的初值。Bowermen和 O’Connell（ 1979）建議 ? 值在 之間較好。 97 （一個(gè)參數(shù)）雙指數(shù)平滑（一個(gè)參數(shù)） 這種方法是將單指數(shù)平滑進(jìn)行兩次（使用相同的參數(shù)）。序列 y 的雙指數(shù)平滑以遞歸形式定義為 其中 : 0 ? ? ? 1, St 是單指數(shù)平滑后的序列， Dt 是雙指數(shù)平滑序列。99 — 無季節(jié)趨勢（兩個(gè)參數(shù)）無季節(jié)趨勢（兩個(gè)參數(shù)） 這種方法適用于具有線性時(shí)間趨勢無季節(jié)變差的情形。雙指數(shù)平滑法只用了一個(gè)參數(shù)，這種方法用兩個(gè)參數(shù)。100 這兩個(gè)參數(shù)由如下遞歸式定義其中 : k 0 , ? , ? 在 01之間，為阻尼因子。 預(yù)測值計(jì)算如下 這些預(yù)測值具有線性趨勢，截距為 aT ，斜率為 bT ， T 是估計(jì)樣本的期末值。 yt 平滑后的序列 由下式給出其中： at 表示截距， bt 表示斜率， at + bt k 表示趨勢， St 為加法模型的季節(jié)因子， s 表示季節(jié)周期長度，月度數(shù)據(jù) s =12，季度數(shù)據(jù) s = 4。102 這三個(gè)系數(shù)由下面的遞歸式定義其中： k 0， ?， ?， ? 在 0～ 1之間，為阻尼因子。 103 （三個(gè)參數(shù)）乘法模型（三個(gè)參數(shù)） 這種方法適用于序列具有線性趨勢和乘法季節(jié)變化。需要用簡單的方法給出季節(jié)因子的第一年的初值，以及截距和斜率的初值。預(yù)測值由下式計(jì)算 其中： ST+ks 用樣本數(shù)據(jù)最后一年的季節(jié)因子， T 是估計(jì)樣本的期末值。 2．． 平滑參數(shù)平滑參數(shù) 既可以指定平滑參數(shù)也可以讓 EViews估計(jì)它們的值。如果估計(jì)參數(shù)值趨于 1，這表明序列趨于隨機(jī)游走，最近的值對(duì)估計(jì)將來值最有用。 107 3．． 平滑后的序列名平滑后的序列名 可以為平滑后的序列指定一個(gè)名字， EViews在原序列后加 SM指定平滑后的序列名，也可以改變。缺省值是當(dāng)前工作文件的樣本區(qū)間。 5．． 季節(jié)循環(huán)季節(jié)循環(huán) 可以改變每年的季節(jié)數(shù)（缺省值為每年 12個(gè)月、 4個(gè)季度）。108 例例 指數(shù)平滑方法應(yīng)用指數(shù)平滑方法應(yīng)用 本例利用指數(shù)平滑方法對(duì)我國上證收盤指數(shù)（時(shí)間范圍：1991年 1月 2023年 3月）的月度時(shí)間序列 (sh_s) 進(jìn)行擬合和預(yù)測。109110靜夜四無 鄰 ，荒居舊 業(yè)貧 。 00:18:2400:18:2400:183/21/2023 12:18:24 AM1以我獨(dú)沈久，愧君相 見頻 。 00:18:2400:18:2400:18Sunday, March 21, 20231乍 見 翻疑夢，相悲各 問 年。 21 三月 202312:18:24 上午 00:18:24三月 211比不了得就不比，得不到的就不要。 2023/3/21 0:18:2400:18:2421 March 20231做前，能 夠環(huán)視 四周；做 時(shí) ，你只能或者最好沿著以腳 為 起點(diǎn)的射 線 向前。 三月 21三月 21Sunday, March 21, 2023很多事情努力了未必有 結(jié) 果，但是不努力卻什么改 變 也沒有。 三月 2100:18:2400:18Mar2121Mar211世 間 成事，不求其 絕對(duì)圓滿 ，留一份不足，可得無限完美。 三月 21三月 2100:18:2400:18:24March 21, 20231意志 堅(jiān) 強(qiáng) 的人能把世界放在手中像泥 塊 一 樣 任意揉捏。 三月 2112:18 上午 三月 2100:18March 21, 20231少年十五二十 時(shí) ，步行 奪 得胡 馬騎 。 12:18:24 上午 12:18 上午 00:18:24三月 21 楊 柳散和 風(fēng) ，青山澹吾 慮 。 00:18:2400:18:2400:183/21/2023 12:18:24 AM1越是沒有本 領(lǐng) 的就越加自命不凡。 00:18:2400:18:2400:18Sunday, March 21, 20231知人者智，自知者明。 三月 21三月 2100:18:2400:18:24March 21, 20231意志 堅(jiān) 強(qiáng) 的人能把世界放在手中像泥 塊 一 樣 任意揉捏。 三月 2112:18 上午 三月 2100:18March 21, 20231 業(yè) 余生活要有意 義 ，不要越 軌 。 12:18:24 上午 12:18 上午 00:18:24三月 21MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit, eleifend nulla ac, fringilla purus. 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