【正文】 lysis）的實質(zhì)是把時間序列 X 的變動分解成不同的周期波動之和?？紤]時間序列 X 由對應(yīng)于不同頻率的多個周期變動的和構(gòu)成，假定存在 n個頻率 ?1, ?2, …, ?n，則這里， uj ， vj 是隨機(jī)變量。 （ 對所有的 i， j） （對所有的 i ? j） 67 可以計算得到 X 的方差： 在這里很有趣的是， X 的方差可以由 n個方差 ?j2 的和來表示。 ?j2是對應(yīng)于頻率 ?j 的循環(huán)變動 uj cos?j t+vj sin?j t 的方差，表示了對隨機(jī)過程全變動的貢獻(xiàn)，下圖是對應(yīng)于頻率的方差圖。68 頻率 ? 和周期 p 有如下關(guān)系：頻率 ? 周期 = ? ? p = 2? () 時間序列 X 的變動可以分解成各種不同頻率波動的疊加和，根據(jù)哪種頻 率的波動具有更大的貢獻(xiàn)率來解釋 X 的周期波動的成分，這就是譜分析（頻率分 析）名稱的緣由。這就是說當(dāng)具有各種周期的無數(shù)個波包含于景氣變動中時，看看哪個周期 (頻率 )的波強(qiáng)烈地表現(xiàn)現(xiàn)實景氣變動。譜分析中的核心概念是功率譜密度函數(shù)（簡稱功率譜），它集中反映了時間序列中不同頻率分量對功率或方差的貢獻(xiàn)程度。 69 （（ 1）白噪音的功率譜）白噪音的功率譜 在隨機(jī)過程 {ut}是白噪音的情形，白噪音的功率譜 f (?) 可由下式表示 ()其中： ? 2是 ut的方差。如圖所示，白噪音的功率譜是水平的。因此，可知白噪音的功率譜的所有頻率是具有同一權(quán)重的隨機(jī)過程。圖的橫軸為頻率，頻率下面是對應(yīng)的周期。在這里， 2是指以 2期為周期的周期變動， 4是指以 4期為一周期的周期變動。在這個功率譜圖中， [0， ?]的頻率對應(yīng)的周期從 ? 到 2期，（由于譜密度函數(shù)的對稱性，圖中只給出 [0， ?]間的譜圖）。 70 （（ 2）） 一般隨機(jī)過程的功率譜一般隨機(jī)過程的功率譜 圖圖 (a) 一般的功率譜的例子如圖 。圖 的隨機(jī)過程，因為長周期變動的比重高，所以表明是以長期波動為主要特征的隨機(jī)過程。而當(dāng) ? = 0時的功率譜有無限大的周期，即表示時間序列是以趨勢要素為主要特征。經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)多數(shù)具有顯著的上升趨勢，所以 Granger（1996）指出： “經(jīng)濟(jì)變量的典型的譜形狀是如圖 的功率譜。 ” 71 相反地，圖 ，說明主要包含短周期的波動，是比白噪音還不規(guī)則的隨機(jī)過程。進(jìn)一步地，圖 率譜集中在某個特定的頻數(shù)附近的情形，意味著這個隨機(jī)過程變動的大部分是由這個頻數(shù)所確定的周期波動。 (b) (c)72 2. 頻率響應(yīng)函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù) 考慮隨機(jī)過程 {xt} 的線性變換 ()其中： wj 是確定的權(quán)重序列，比如是 {xt} 的移動平均權(quán)重。上面的變換可以用延遲算子表示為 ()其中：73 由這種變換構(gòu)成的延遲多項式被稱為 線性濾波線性濾波 (linear filter)，或只稱為濾波。這樣的變換還可以被說成對 {xt}作用了濾波。由譜分析的知識可知， {yt} 的功率譜可以表示為 ()其中： fy(?)和 fx(?)分別是 {yt}和 {xt}的功率譜，關(guān)于 ei?=cos?isin?的指數(shù)函數(shù) W( ei?)被定義為： ()其中 ： i 是滿足 i2=1的虛數(shù) 。 W(ei?) 等同于 W(L)中的 Lj 用 eij? 置換的結(jié)果。 74 w(?)=W(ei?)稱為 濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)濾波的頻率響應(yīng)函數(shù) (frequency response function)。 W(ei?)是復(fù)數(shù)，它的絕對值 |W(ei?)| 是實數(shù)，稱為濾波的增益 (gain)。因此，變換后的功率譜給定為實數(shù)。進(jìn)一步，增益的平方 |W(ei?)|2稱為 濾波的功率傳遞函數(shù)濾波的功率傳遞函數(shù) (power transfer function)，或只稱為 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 。 要想得到理想的濾波，需要無限階移動平均。實際應(yīng)用中，我們必須要用有限項移動平均近似理想的濾波，設(shè)截斷點為 n，這時的頻率響應(yīng)函數(shù)為() 75 形如式 ()的線性變換被稱為線性濾波，是因為通過適當(dāng)設(shè)計權(quán)重序列，可以使傳遞函數(shù) ?W( ei?)?2 在某些頻率區(qū)間內(nèi)等于 0或近似等于 0。這樣根據(jù)式 ()就可以將輸入中所有在這個頻率帶中的分量 “過濾 ”掉，留下其他成分。根據(jù)被保留下來的頻率位于低頻處、高頻處或某個中間帶上，分別稱為低通濾波（ lowpass filters， LP）、高通濾波（ highpass filters， HP）和 帶通濾波帶通濾波（（ bandpass filters， BP）） 。 76例例 差分濾波的效果差分濾波的效果 現(xiàn)在設(shè)時間序列 {xt}有功率譜 fx(?) ?？紤]取差分系列 {yt} ()用延遲多項式來表示 () 因此，差分濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)是 ()77 傳遞函數(shù)由下式給定 () 因此， {yt} 的功率譜由下式給定 ()圖圖 差分濾波的圖形差分濾波的圖形78 像圖 (a) 所示的那樣，差分濾波的傳遞函數(shù)在 ? = 0 處取 0，然后先緩緩上升，很快就急速上升。如果原來的時間序列 {xt} 的功率譜如圖 (b)，趨勢很強(qiáng)，作為差分結(jié)果的 {yt} 的功率譜就如圖 (c) 的形狀。這樣的差分處理，趨勢要素（ ? = 0的功率）完全被消除，具有大幅度減少長期變動的效果。 圖圖 差分濾波的圖形差分濾波的圖形79 4．帶通濾波．帶通濾波 可以使得在頻率帶 ?L1|?| ?L2 的范圍內(nèi)，頻率響應(yīng)函數(shù)為 1，而其他區(qū)間為 0。顯然帶通濾波的權(quán)重便是兩個低通濾波權(quán)重的差，即 () 從頻率的角度定義了這些類型的濾波，這經(jīng)常和周期相聯(lián)系。頻率為 ?的循環(huán)的周期是 p=2?/?，切斷頻率為 ?c、 截斷點為n的近似的低通濾波可以記為 LPn(p)，意味著周期大于等于p(=2?/?c)的那些成份將保留。帶通濾波可以類似地分別定義為 () 80 截斷點 n的選擇是決定理想濾波 BPn(p， q)近似優(yōu)劣的根本因素，如果 n取得過小，將會產(chǎn)生譜泄漏（ leakage）和擺動 (gibbs)現(xiàn)象。前者是說，濾波在剔除不想保留的成分的同時，也將想要保留下來的一部分成分剔除掉了；后者是指頻率響應(yīng)函數(shù)在大于 1和小于 1兩種狀態(tài)之間擺動。隨著 n的增加，這些現(xiàn)象明顯改善。但是， n不能選擇太大，因為那樣兩端將缺失過多數(shù)據(jù)。 設(shè) ? =2?? ， 則頻率響應(yīng)函數(shù)的頻率 ? 的取值范圍是[0,?]， 對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化后頻率 ? 的取值范圍 為 [0， ]。 因此，在周期 p為 18， q為 60的帶通濾波的理想的頻率響應(yīng)函數(shù)在[1/60， 1/18]的頻率區(qū)間的取值應(yīng)為 1。 81 圖圖 實線表示實線表示 BP(p,q)濾波頻率響應(yīng)函數(shù)濾波頻率響應(yīng)函數(shù) 虛線表示虛線表示 n 取不同值得到的帶通濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)取不同值得到的帶通濾波的頻率響應(yīng)函數(shù) 82 BP濾波濾波 的操作的操作 在 EViews中，可以使用 BandPass 濾波對經(jīng)濟(jì)時間序列進(jìn)行趨勢循環(huán)分解。在序列對象的菜單中選擇 Proc/ Frequency Filter，顯示圖 。圖圖 頻率濾波對話框頻率濾波對話框 83 為了使用 BandPass濾波，首先要選擇一種濾波類型。共有 3種類型： （ 1） BK固定長度對稱濾波（ Fixed length symmetric (BaxterKing， BK)）； （ 2） CF固定長度對稱濾波（ Fixed length symmetric (ChristianoFitzgerald， CF)）； （ 3）全樣本長度非對稱濾波（ Full sample asymmetric(ChristianoFitzgerald)）。 EViews默認(rèn)的是 BK固定長度對稱濾波。如果使用固定長度對稱濾波，還必須指定先行 /滯后（Lead/lag）項數(shù) n。84 用戶必須選擇循環(huán)周期（ Cycle periods）的區(qū)間以計算 BandPass濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)的權(quán)重序列。這個區(qū)間由一對數(shù)據(jù) （ PL， PU） 描述， PL、 PU 由 BandPass濾波要保留的循環(huán)波動成分所對應(yīng)的周期來確定。月度數(shù)據(jù)填月數(shù)；季度數(shù)據(jù)填季度的個數(shù)。 EViews將根據(jù)數(shù)據(jù)類型填入了默認(rèn)數(shù)值。例如，例 增長周期大約在 1年半（ 18個月）到 5年（ 60個月），如果保留在這個區(qū)間內(nèi)的循環(huán)要素，則區(qū)間的下界是 18，上界是 60。因此，設(shè)定 PL=18， PU=60（ 相當(dāng)于例 p和 q）。85 在 BandPass濾波的輸出結(jié)果中，左側(cè)的圖描述了原序列、趨勢序列和循環(huán)序列。對于 BK和 CF固定長度對稱濾波而言， Eviews 畫出頻率響應(yīng)函數(shù) w(?)，頻率 ? 的區(qū)間是 [0， ]，右面的圖描述了頻率響應(yīng)函數(shù)。但是，對于時變的 CF濾波，并沒有畫出頻率響應(yīng)函數(shù)，因為濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)隨數(shù)據(jù)和觀測值個數(shù)變化。 86 用戶需要輸入希望保存的結(jié)果（循環(huán)成分、趨勢成分）對象的名字。循環(huán)序列（ Cycle series）是包含循環(huán)要素的序列對象；趨勢序列 (Noncyclical series)是實際值和循環(huán)序列的差。用戶還能得到在濾波中所用的 BandPass濾波頻率響應(yīng)函數(shù)的權(quán)序列，它將存儲在矩陣對象中。 87 例例 利用利用 BP濾波對經(jīng)濟(jì)時間序列進(jìn)行趨勢、循環(huán)分解濾波對經(jīng)濟(jì)時間序列進(jìn)行趨勢、循環(huán)分解 中國社會消費品零售總額月度時間序列（ SL）的取值范圍從 1980年 1月至 2023年 12月。取對數(shù)后的序列記為 lnsl。由于帶通（ BP）濾波的兩端各欠 n項，為了近期的分解結(jié)果沒有缺失值，本例利用 ARIMA模型將序列 lnsl外推到 2023年 6月。然后對 lnsl進(jìn)行季節(jié)調(diào)整去掉季節(jié)和不規(guī)則要素，得到只包含趨勢循環(huán)要素的序列 lnsl_TC。根據(jù)增長率周期波動分析，我國社會消費品零售總額的增長率大約存在 ～ 5年之間的波動。 取 p = 18 (?p = 1/18)， q = 60 (?q = 1/60)，利用式 ()帶通濾波方法希