【正文】 y = 1　　∴設x = cos2θ, y = sin2θ　　則1/x + 1/y = (1 + 1/cos2θ)(1 + 1/sin2θ) = (1 + sec2θ)(1 + csc2θ)= (2 + tan2θ)(2 + cot2θ) = 4 + 2tan2θ+ 2cot2θ + 1 ≥ 9（四）∵x、y都是正數，且x + y = 1　　∴設x = 1/2－t , y = 1/2 + t(－1/2 t 1/2) ∴(1 + 1/x)(1 + 1/y) = 1 + 1/x + 1/y + 1/xy 均值換元法 = 1 + (x + y)/xy + 1/xy = 1 + 2/xy = 1 + 8/(1－4t2) ∵－1/2 t 1/2 ∴ 0 1－4t2≤ 1 ∴8/(1－4t2) ≥ 8 ∴(1 + 1/x)(1 + 1/y)≥9教學后記：

第五課時　　不等式的證明
學習目標　　
（1）系統(tǒng)地掌握不等式證明的常用方法
（2）理解放縮法、函數性質法、反證法證明不等式的原理和思維特點
（3）針對不同條件，靈活選用方法，培養(yǎng)發(fā)散思維能力
教學過程
設置情境
前面我們已學過不等式證明的三種常用方法：比較法、綜合法、分析法，在證明不等式的性質5時還用了反證法。這節(jié)課我們一起學習證明不等式的其它方法。在用反證法證明不等式時，應嚴格按照步驟進行，尤其反設要正確，推理要嚴密，防止由于推理錯誤導致假證現(xiàn)象。
　　　常用公式：(a 177。 3a2b + 3ab2 177。
證明：設t= y/x，則設y = tx
代入條件x2－2xy + y2 + x + y + 1＝0得
　 x2－2x
例5　 EMBED 

 EMBED 

 EMBED 

例6　已知－1≤x≤1 , n≥2且n∈N，求證：(1－x)n + (1 + x)n≤2n
分析：考慮到－1≤x≤1，且目標式中含有1－x, 1 + x，聯(lián)想到余弦的二倍角公式，從而利用三角換元法來證。以下是幾種常見的三角換元的方法：
若題目中含有|a|≤1,則可設 a = cosθ(0≤θ≤п)或設a = sinθ(－п/2≤θ≤п/2)
若題目中含有a2 + b2 = 1,則可設 a = cosθ,b = sinθ(0≤θ2п)
若題目中含有 EMBED 
,則可設 x = cosθ(0≤θ≤п)或設x = sinθ(－п/2≤θ≤п/2)
若題目中含有 EMBED 
,則可設 x = tanθ(－п/2θп/2)
若題目中含有x + y = r,(其中x 0, y 0), 則可設 x = cosθ, y = sinθ(0≤θ≤п/2)
例7　已知a、b、c、d∈R+, 求證：
　　　 EMBED 

分析：證明不等式常常需要根據不等式的性質對不等式的一端進行“同向”變形，即放大或縮小，這種利用放縮原理證明不等式的方法叫做放縮法。
 EMBED 

 EMBED 

變：（1）已知三角形ABC的三邊分別為a、b、c，且m 0 ,求證：
　　 EMBED 

證明一：∵三角形ABC的三邊分別為a、b、c，　∴a + b c
設a + b = c + k(k 0)
又m 0
 EMBED 

 EMBED 

證法二：構造函數f(x) = x/(x + m) = 1－m/(x + m) (x 0,m 0)

∴f(a) + f(b) = a/(a + m) + b/(b + m)
= a/(a + b + m) + b/(a + b + m) = (a + b)/(a + b + m)
= f(a + b)
∵三角形ABC的三邊分別為a、b、c，　∴a + b c
∵1/(x + m) 在（0，＋∞）是減函數
∴f(x) = 1－m/(x + m) 在（0，＋∞）是增函數∴f(a + b) f(c)
即a/(a + m) + b/(b + m)＞c/(c + m)
（2）已知三角形ABC的三邊分別為a、b、c，求證：
 EMBED 

證明：∵三角形ABC的三邊分別為a、b、c，　∴a c + b
不妨設a≥b≥c,則
 EMBED 
  EMBED 

例8　已知n≥2且n∈N，求證：logn(n－1)logn(n + 1)1
證明：∵n≥2且n∈N，　∴l(xiāng)ogn(n－1)0,logn(n + 1)0,
logn(n－1) ≠logn(n + 1)
∴l(xiāng)ogn(n－1)logn(n + 1) [logn(n－1)+logn(n + 1)]2/4
= [logn(n2－1)]2/4 [lognn2]2/4＝1
即logn(n－1)logn(n + 1)1
例9　已知x、y、z∈（0,1），求證：x(1－y) + y(1－z) + z(1－x) 1
證明：構造函數f(x)= x(1－y) + y(1－z) + z(1－x)－1
即f(x) = (1－y－z)x + y(1－z) + z－1
　　　當1－y－z = 0,即y + z = 1時，
f(x) = y(1－z) + z－1 = y + z －1－yz = －yz 0
當1－y－z ≠ 0時，f(x)為一次函數，又x∈（0,1），由一次函數的單調性，只需證明f(0) 0, f(1) 0
　　∵y、z∈（0,1）
∴f(0) = y(1－z) + z－1 = (y－1)(z－1) 0
f(1) = (1－y－z) + y(1－z) + z－1 =－yz 0
∴對任意的x∈（0,1）都有f(x) 0
即x(1－y) + y(1－z) + z(1－x) 1
小結：利用函數的單調性來證明不等式也是一種常用的方法，其關鍵是要精心構造一個函數。
　　　A＋B＝（a－c）＋（b－c）＝（a + b+c）－3c＝1－3c
　　　又(a+b+c)2－（a2+b2+c2）＝2(ab+bc+ca)＝0
　　　∴ab＝－c(a+b)＝－c(1－c)＝－c+c2
∴AB＝（a－c）（b－c）＝ab－c(a+b)+c2＝－2c+3c2
從而A、B是關于t的方程t2－(1－3c)t+(－2c+3c2)=0的兩個不等的正根，則其充要條件是 Δ＝(1－3c)2－4(3c2－2c)0
1－3c0－2c+3c20　　?。?/3c1即 c1/3 c0或c2/3于是，有－1/3c0，從而11－c4/3，即1a+b4/3 (2)再由0c21/9得01－(a2+b2)1/9從而8/9a2+b21教學后記：23