【正文】 ∴ E 是 CN 的中點(diǎn)， … ∴ = ． …（ 6 分） （ Ⅱ ）連結(jié) B1M， …（ 7 分） 因?yàn)槿庵?ABC﹣ A1B1C1 為直三棱柱， ∴ AA1⊥ 平面 ABC， ∴ AA1⊥ AB，即四邊形 ABB1A1 為矩形，且 AB=2AA1， ∵ M 是 AB 的中點(diǎn)， ∴ B1M⊥ A1M， 又 A1C1⊥ 平面 ABB1A1， ∴ A1C1⊥ B1M，從而 B1M⊥ 平面 A1MC1， …（ 9 分） ∴ MC1 是 B1C1 在平面 A1MC1 內(nèi)的射影， ∴ B1C1 與平面 A1MC1 所成的角為 ∠ B1C1M， 又 B1C1∥ BC， ∴ 直線 BC 和平面 A1MC1 所成的角即 B1C1 與平面 A1MC1 所成的角 …（ 10 分） 設(shè) AB=2AA1=2，且三角形 A1MC1 是等腰三角形 ∴ A1M=A1C1= ，則 MC1=2， B1C1= ， ∴ cos∠ B1C1M= ， ∴ 直線 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值為 ． …（ 12 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查兩條線段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 20．（ 12 分）（ 2017?南充模擬）已知直線 l： x+y+8=0，圓 O： x2+y2=36（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓 C： =1（ a＞ b＞ 0）的離心率為 e= ，直線 l 被圓 O 截得的弦長(zhǎng)與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等． （ I）求橢圓 C 的方程； （ II）過(guò)點(diǎn)（ 3， 0）作直線 l，與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)設(shè) （ O 是坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在這樣的直線 l，使四邊形為 ASB 的對(duì)角線長(zhǎng)相等？若存在，求出直線 l 的方程，若不存在，說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；直線與圓相交的性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】 （ Ⅰ ）計(jì)算圓心 O 到直線 l： x+y+8=0 的距離，可得直線 l 被圓 O 截得的弦長(zhǎng)，利用直線 l 被圓 O 截得的弦長(zhǎng)與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等，可求 a 的值，利用橢圓的離心率為 e= ，即可求得橢圓 C 的方程； （ Ⅱ ）由 ，可得四邊形 OASB 是平行四邊形．假設(shè)存在這樣的直線 l，使四邊形 OASB 的對(duì)角線長(zhǎng)相等，則四邊形 OASB 為矩形，因此有 ，設(shè)直線方程代入橢圓方程，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 圓心 O 到直線 l： x+y+8=0 的距離為 ， ∴ 直線 l 被圓 O 截得的弦長(zhǎng)為 ， ∵ 直線 l 被圓 O 截得的弦長(zhǎng)與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等， ∴ 2a=4， ∴ a=2， ∵ 橢圓的離心率為 e= ， ∴ c= ∴ b2=a2﹣ c2=1 ∴ 橢圓 C 的方程為： ； …（ 4 分） （ Ⅱ ） ∵ ， ∴ 四邊形 OASB 是平行四邊形． 假設(shè)存在這樣的直線 l，使四邊形 OASB 的對(duì)角線長(zhǎng)相等，則四邊形 OASB 為矩形，因此有 ， 設(shè) A（ x1， y2）， B（ x2， y2），則 x1x2+y1y2=0． …（ 7 分） 直線 l 的斜率顯然存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)（ 3， 0）的直線 l 方程為： y=k（ x﹣ 3）， 由 ，得（ 1+4k2） x2﹣ 24k2x+36k2﹣ 4=0， 由 △ =（﹣ 24k2） 2﹣ 4（ 1+4k2）（ 36k2﹣ 4） ＞ 0，可得﹣ 5k2+1＞ 0，即 ． …（ 9 分） ∴=， 由 x1x2+y1y2=0 得： ，滿足 △＞ 0． …（ 12 分） 故存在這樣的直線 l，其方程為 ． …（ 13 分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，聯(lián)立方程，利用向量的數(shù)量積公式、韋達(dá)定理是關(guān)鍵． 21．（ 12 分）（ 2017?南充模擬）已知 f（ x） =ax﹣ lnx， x∈ （ 0， e]， g（ x） = ，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， a∈ R． （ Ⅰ ）當(dāng) a=1 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （ Ⅱ ）求證：在（ Ⅰ ）的條件下， f（ x） ＞ g（ x） + ； （ Ⅲ ）是否存在實(shí)數(shù) a，使 f（ x）的最小值是 3，若存 在，求出 a 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】 （ Ⅰ ）當(dāng) a=1 時(shí)，求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性． （ Ⅱ ）利用（ Ⅰ ）的結(jié)論，求函數(shù) f（ x）的最小值以及 g（ x）的最大值，利用它們之間的關(guān)系證明不等式． （ Ⅲ ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，讓最小值等于 3，解參數(shù) a． 【解答】 解：（ Ⅰ ）因?yàn)?f（ x） =x﹣ lnx， f′（ x） =1﹣ = ， 所以當(dāng) 0＜ x＜ 1 時(shí)， f39。（ x） ＞ 0，此時(shí)函 數(shù) f（ x）單調(diào)遞增， 所以函數(shù) f（ x）的極小值為 f（ 1） =1． （ Ⅱ ）證明：因?yàn)楹瘮?shù) f（ x）的極小值為 1，即函數(shù) f（ x）在（ 0， e]上的最小值為 1． 又 g′（ x） = ，所以當(dāng) 0＜ x＜ e 時(shí)， g39。（ x） ＜ 0， f（ x）在（ 0， e]上單調(diào)遞減， f（ x） min=f（ e） =ae﹣ 1=3， a= ，（舍去），此時(shí)函數(shù) f（ x）的最小值不是 3． ② 當(dāng) 0＜ ＜ e 時(shí)， f（ x）在（ 0， ]上單調(diào)遞減， f（ x）在（ ， e]上單調(diào)遞增． 所以 f（ x） min=f（ ） =1+lna=3， a=e2，滿足條件． ③ 當(dāng) ≥ e 時(shí)， f（ x）在（ 0， e]上單調(diào)遞減， f（ x） min=f（ e） =ae﹣ 1=3， a= ，（舍去）， 此時(shí)函數(shù) f（ x）的最小值是不是 3， 綜上可知存在實(shí)數(shù) a=e2，使 f（ x）的最小值是 3． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題 ，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)． [選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講 ] 22．（ 10 分）（ 2017?南充模擬）在極坐標(biāo)系中，已知直線 l 的極坐標(biāo)方程 為 ρsin（ θ+ ） =1，圓 C 的圓心是 C（ 1， ），半徑為 1，求： （ 1）圓 C 的極坐標(biāo)方程； （ 2）直線 l 被圓 C 所截得的弦長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；直線與圓相交的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）直接利用 x2+y2=ρ2， ρcosθ=xρsinθ=y 的關(guān)系式把直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，及把圓的直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程． （ 2）利用圓心和直線的關(guān)系求出直 線被圓所截得的弦長(zhǎng)． 【解答】 解：（ 1）已知直線 l 的極坐標(biāo)方程 為 ρsin（ θ+ ） =1， 所以： 即： x+y﹣ =0． 因?yàn)椋簣A C 的圓心是 C（ 1， ），半徑為 1， 所以轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為： C ，半徑為 1， 所以圓的方程為： 轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為： （ 2）直線 l 的方程為： x+y﹣ =0，圓心 C 滿足直線的方程，所以直線經(jīng)過(guò)圓心， 所以：直線所截得弦長(zhǎng)為圓的直徑． 由于圓的半徑為 1，所以所截得弦長(zhǎng)為 2． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，直線與曲線的位置關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題型． [選修 45：不等式選講 ] 23．（ 2017?南充模擬）若關(guān)于 x 的不等式 x+|x﹣ 1|≤ a 有解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 絕對(duì)值不等式． 【分析】 首先分析題目已知關(guān)于 x 的不等式 x+|x﹣ 1|≤ a 有解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．即可先分類(lèi)討論 x 與 1 的大小關(guān)系，去絕對(duì)值號(hào)．然后根據(jù)恒成立分析 a的范圍，即可得到答案． 【解答】 解：關(guān)于 x 的不等式 x+|x﹣ 1|≤ a 有解，先分類(lèi)討論 x 與 1 的大小關(guān)系，去絕對(duì)值號(hào)． 當(dāng) x≥ 1時(shí)，不等式化為 x+x﹣ 1≤ a，即 x≤ ．此時(shí)不等式有解當(dāng)且僅當(dāng) 1≤ ，即 a≥ 1． ≥ 1．