【正文】 長量的最大值． 【解答】 解：由題意，空閑率為 1﹣ ， ∴ y=kx（ 1﹣ ），定義域?yàn)椋?0， m）， y=kx（ 1﹣ ） =﹣ ， 因?yàn)? x∈ （ 0， m）， k＞ 0； 所以當(dāng) x= 時(shí)， ymax= ． 故答案為 ． 【點(diǎn)評】 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題 →建模 →解模 →還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對自變量 x 取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（?。┦亲顑?yōu)化問題中，最常見的思路之一． 15．若直線 2ax﹣ by+2=0（ a， b∈ R）始終平分圓 x2+y2+2x﹣ 4y+1=0 的周長，則ab 的取值范圍是 （﹣ ∞ ， ] ． 【考點(diǎn)】 直線與圓相交的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)圓的性質(zhì)，得圓心在直線 2ax﹣ by+2=0 上，解得 b=1﹣ a，代入式子 a?b 并利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出 a?b 的取值范圍． 【解答】 解： ∵ 直線 2ax﹣ by+2=0（ a、 b∈ R）始終平分 x2+y2+2x﹣ 4y+1=0 的周長， ∴ 圓心（﹣ 1， 2）在直線 2ax﹣ by+2=0 上，可得﹣ 2a﹣ 2b+2=0 解得 b=1﹣ a ∴ a?b=a（ 1﹣ a） =﹣（ a﹣ ） 2+ ≤ ，當(dāng)且僅當(dāng) a= 時(shí)等號成立 因此 a?b 的取 值范圍為（﹣ ∞ ， ]． 故答案為（﹣ ∞ ， ]． 【點(diǎn)評】 本題給出直線始終平分圓，求 ab 的取值范圍．著重考查了直線的方程、圓的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題． 16．在 △ ABC 中， a， b， c 分別是角 A， B， C 的對邊， C=2A， cosA= ， ? = ，則 b= 5 ． 【考點(diǎn)】 向量在幾何中的應(yīng)用． 【分析】 由 C=2A，得到 cosC=cos2A， cos2A 利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，將cosA 的值代入求出 cosC 的值，發(fā)現(xiàn) cosC 的值大于 0，由 A 和 B 為三角形的內(nèi)角，得到 A 和 B 都為銳角，進(jìn)而利 用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出 sinA 和 sinC 的 值，最后利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式化簡 cosB，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入即可求出 cosB 的值；利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡已知的等式 ? = ，由 cosB 的值，求出 ac 的值，由 a， c，sinA 和 sinC，利用正弦定理列出關(guān)系式，將 C=2A 代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，用 c 表示出 a，代入 ac=24 中，求出 c 的值，進(jìn)而得到 a 的值，最后由 a， c 及 cosB 的值，利用余弦定理即可求出 b 的值． 【解答】 解： ∵ C=2A， cosA= ＞ 0， ∴ cosC=cos2A=2cos2A﹣ 1=2 （ ） 2﹣ 1= ＞ 0， ∵ 0＜ A＜ π， 0＜ C＜ π， ∴ 0＜ A＜ ， 0＜ C＜ ， ∴ sinA= = ， sinC= = ， ∴ cosB=cos[π﹣（ A+C） ]=﹣ cos（ A+C） =﹣（ cosAcosC﹣ sinAsinC） = ； ∵ ? = ， ∴ accosB= ， ∴ ac=24， ∵ = = = ， ∴ a= = c， 由 解得 ， ∴ b2=a2+c2﹣ 2accosB=42+62﹣ 2 24 =25， ∴ b=5． 故答案為： 5． 【點(diǎn)評】 此題考查了正弦、余 弦定理，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵． 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70分．解答寫出文字說明、證明過程或演算過程． 17．（ 12 分）（ 2017?南充模擬）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {an}和 {bn}滿足：對任意 n∈ N*， an， bn， an+1 成等差數(shù)列， bn， an+1， bn+1 成等比數(shù)列，且 a1=1， b1=2，a2=3． （ Ⅰ ）證明數(shù)列 { }是等差數(shù)列； （ Ⅱ ）求數(shù)列 { }前 n 項(xiàng)的和． 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和． 【分析】 （ I）對任意 n∈ N*， an， bn， an+1 成等差數(shù)列， bn， an+1， bn+1 成等比數(shù)列，可得 2bn=an+an+1， =bn?bn+1， an＞ 0， an+1= ，代入即可證明． （ II） a1=1， b1=2， a2=3．由（ I）可得： 32=2b2，解得： b2．公差 = ．可得 = ． bn 代入 =bn?bn+1， an+1＞ 0．可得 an+1= ，可得= ．即可得出． 【解答】 （ I）證明： ∵ 對任意 n∈ N*， an， bn， an+1 成等差數(shù)列， bn， an+1， bn+1成等比數(shù)列， ∴ 2bn=an+an+1， =bn?bn+1， an＞ 0， ∴ an+1= ， ∴ 2bn= + ， ∴ = + ． ∴ 數(shù)列 { }是等差數(shù)列． （ II）解： a1=1， b1=2， a2=3．由（ I）可得： 32=2b2，解得： b2= ． ∴ 公差 d= = = ． = + （ n﹣ 1） = ． ∴ bn= ． ∴ =bn?bn+1= ， an+1＞ 0． ∴ an+1= ， ∴ n≥ 2 時(shí)， an= ． n=1 時(shí)也成立． ∴ an= ． n∈ N*． ∴ = ． ∴ 數(shù)列 { }前 n 項(xiàng)的和 = +…+ =2 = ． 【點(diǎn)評】 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差 數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、 “裂項(xiàng)求和 ”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 18．（ 12 分）（ 2017?南充模擬）某校的學(xué)生記者團(tuán)由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如下表所示： 組別 理科 文科 性別 男生 女生 男生 女生 人數(shù) 4 4 3 1 學(xué)校準(zhǔn)備從中選出 4 人到社區(qū)舉行的大型公益活動進(jìn)行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記 1 分，每選出一名女生則給其所在小組記 2 分，若要求被選出的4 人中理科組、文科組的學(xué)生都有． （ Ⅰ ）求理科組恰好記 4 分的概率？ （ Ⅱ ）設(shè)文科男生被選出的人數(shù)為 ξ，求隨 機(jī)變量 ξ 的分布列和數(shù)學(xué)期望 Eξ． 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】 （ I）要求被選出的 4 人中理科組、文科組的學(xué)生都有共有：．其中 “理科組恰好記 4 分 ”的選法有兩種情況：從理科組中選取 2 男 1 女，再從文科組中任選 1 人，可有 方法；另一種是從理科組中選取 2 女，再從文科組中任選 2 人，可有 方法．根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式即可得出． （ II）由題意可得 ξ=0， 1， 2， 3． P（ ξ=0） = = ， P（ ξ=1） = = ， P（ ξ=2） = = ， P（ ξ=4） = = ，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望． 【解答】 解：（ I）要求被選出的 4 人中理科組、文科組的學(xué)生都有共有： =424． 其中 “理科組恰好記 4 分 ”的選法有兩種情況：從理科組中選取 2 男 1 女，再從文科組中任選 1 人，可有 方法；另一種是從理科組中選取 2 女，再從文科組中任選 2 人，可有 方法． ∴ P= = ． （ II）由題意可得 ξ=0， 1， 2， 3． P（ ξ=0） = = ， P（ ξ=1） = = ，P（ ξ=2） = = ， P（ ξ=4） = = ， 由題意可得 ξ=0， 1， 2， 3．其分布列為： ξ 0 1 2 3 P（ ξ） ξ 的數(shù)學(xué)期望 Eξ= + + = ． 【點(diǎn)評】 本題考查了互斥事件的概率計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 19．（ 12 分）（ 2017?南充模擬）如圖，直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中， AC⊥ AB， AB=2AA1，M 是