【正文】 于 4 的概率； ( 2) 向袋中再放入一張標(biāo)號為 0 的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于 4 的概率． 審題路線圖 確定概率模型 → 列出所有取卡片的結(jié)果 ( 基本事件 ) → 構(gòu)成事件的基本事件 → 求概率． 規(guī)范解答 解 ( 1) 標(biāo)號為 1,2,3 的三張紅色卡片分別記為 A ， B ， C ，標(biāo)號為 1,2的兩張藍色卡片分別記為 D ， E ，從五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為 ( A ， B ) ， ( A ， C ) ， ( A ， D ) ， ( A ， E ) ， ( B ， C ) ， ( B ， D ) ， ( B ，E ) ， ( C ， D ) ， ( C ， E ) ， ( D ， E ) ，共 10 種．由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4 的結(jié)果為 ( A ， D ) ， ( A ， E ) ， ( B ， D ) ，共 3 種． 所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于 4 的概率為310. ( 2) 記 F 是標(biāo)號為 0 的綠色卡片，從六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為 ( A ， B ) ， ( A ， C ) ， ( A ， D ) ， ( A ， E ) ， ( A ， F ) ， ( B ， C ) ， ( B ， D ) ，( B ， E ) ， ( B ， F ) ， ( C ， D ) ， ( C ， E ) ， ( C ， F ) ， ( D ， E ) ， ( D ， F ) ， ( E ，F(xiàn) ) ，共 15 種． 由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于4 的結(jié)果為 ( A ， D ) ， ( A ， E ) ， ( B ， D ) ， ( A ， F ) ， ( B ， F ) ， ( C ， F ) ， ( D ，F(xiàn) ) ， ( E ， F ) ，共 8 種． 所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號之和小于 4 的概率為815. 構(gòu)建答題模板 第一步 ：列出所有基本事件，計算基本事件總數(shù)； 第二步 ：將所求事件分解為若干個互斥的事件，或轉(zhuǎn)化為其對立事件． ( 也許不用分解，但分解必須注意互斥 ) 第三步 ：分別計算每個互斥事件的概率． 第四步 ：利用概率的加法公式求出問題事件概率． 第五步 ：反思回顧．查看關(guān)鍵點、易錯點及答題規(guī)范． 模板 9 離散型隨機變量的分布列、期望與方差 【 例 9 】 已知一個袋中裝有 3 個白球和 3 個紅球，這些球除顏色外完全相同． ( 1) 每次從袋中取一個球，取出后不放回，直到取到一個紅球為止，求取球次數(shù) ξ 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E ( ξ ) ； ( 2) 每次從袋中取一個球，取出后放回接著再取一個球，這樣取3 次，求取出紅球次數(shù) η 的數(shù)學(xué)期望 E ( η ) ． 審題路線圖 取到紅球為止 → 取球次數(shù)的所有可能 1,2,3,4 → 求對應(yīng)次數(shù)的概率 → 列分布列 → 求 E ( ξ ) ． 取出后放回，這是條件 → 每次取到紅球的概率相同 → 三次獨立重復(fù)試驗 → 利用公式． 解 (1) ξ 的可能取值為 1,2,3,4. P ( ξ ＝ 1) ＝36＝12， P ( ξ ＝ 2) ＝A13A13A26＝3 36 5＝310， P ( ξ ＝ 3) ＝A23A13A36＝3 2 36 5 4＝320， P ( ξ ＝ 4) ＝A33A13A46＝3 2 36 5 4 3＝120. 故 ξ 的分布列為 ξ 1 2 3 4 P 12 310 320 120 數(shù)學(xué)期望 E ( ξ ) ＝ 1 12＋ 2 310＋ 3 320＋ 4 120＝74. ( 2) 取出后放回，取球 3 次，可看作 3 次獨立重復(fù)試驗， 所以 η ～ B (3 ， 12 ) ，所以 E ( η ) ＝ 3 12 ＝ 32 . 構(gòu)建答題模板 第一步 ： 確定離散型隨機變量的所有可能值． 第二步 ： 求出每個可能值的概率． 第三步 ： 畫出隨機變量的分布列． 第四步 ： 求期望和方差． 第五步 ： 反思回顧．查看關(guān)鍵點、易錯點及 解 題規(guī)范．如本題可重點查看隨機變量的所有可能值是否正確；根據(jù)分布列性質(zhì)檢查概率是否正確． 模板 10 函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題 【 例 10 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ a ln x ＋2 a2x＋ x ( a ≠ 0) ． ( 1) 若曲線 y ＝ f ( x ) 在點 (1 ， f ( 1) ) 處的切線與直線 x － 2 y ＝ 0 垂直，求實數(shù) a 的值； ( 2) 討論函數(shù) f ( x ) 的單調(diào)性； ( 3) 當(dāng) a ? ( － ∞ ， 0) 時，記函數(shù) f ( x ) 的最小值為 g ( a ) ， 求證： g ( a ) ≤12e2. 審題路線圖 ( 1) f ′ ( 1) ＝－ 2 → 求 a . ( 2) 討論 f ′ ( x ) 0 或 f ′ ( x ) 0 → f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間． ( 3) 求 f ( x ) 的最小值 g ( a ) 的函數(shù)表達式 → 求 g ( a ) 在 ( － ∞ ， 0) 上的最大值 → g ( a ) ≤12e2. 規(guī)范 解 答 ( 1) 解 f ( x ) 的定義域為 { x | x 0} ． f ′ ( x ) ＝ax－2 a2x2 ＋ 1 ( x 0) ． 根據(jù)題意，有 f ′ ( 1) ＝－ 2 ，所以 2 a2－ a － 3 ＝ 0 ， 解 得 a ＝－ 1 或 a ＝32. ( 2) 解 f′ ( x ) ＝ax－2 a2x2 ＋ 1 ＝x2＋ ax － 2 a2x2 ＝? x － a ?? x ＋ 2 a ?x2 ( x 0) ． ① 當(dāng) a 0 時，因為 x 0 ， 由 f′ ( x ) 0 得 ( x － a )( x ＋ 2 a ) 0 ， 解 得 x a ； 由 f′ ( x ) 0 得 ( x － a )( x ＋ 2 a ) 0 ， 解 得 0 x a . 所以函數(shù) f ( x ) 在 ( a ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞增，在 (0 ， a ) 上單調(diào)遞減． ② 當(dāng) a 0 時，因為 x 0 ， 由 f ′ ( x ) 0 得 ( x － a )( x ＋ 2 a ) 0 ， 解 得 x － 2 a ； 由 f ′ ( x ) 0 得 ( x － a )( x ＋ 2 a ) 0 ， 解 得 0 x － 2 a . 所以函數(shù) f ( x ) 在 (0 ，－ 2 a ) 上單調(diào)遞減，在 ( － 2 a ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞增． ( 3) 證明 由 ( 2) 知，當(dāng) a ? ( － ∞ ， 0) 時，函數(shù) f ( x ) 的最小值為 f ( － 2 a ) ， 即 g ( a ) ＝ f ( － 2 a ) ＝ a ln( － 2 a ) ＋2 a2－ 2 a－ 2 a ＝ a ln( － 2 a ) － 3 a . g ′ ( a ) ＝ ln( － 2 a ) ＋ a 183