高一數(shù)學導(dǎo)數(shù)及其運算-閱讀頁
2024-12-02 01:35本頁面
【正文】 對應(yīng)點可導(dǎo)，則 yx′＝ yu′ln a ex ax v′ u′v＋ uv′ u ′ v － uv ′v2 要點探究 ? 探究點 1 導(dǎo)數(shù)的概念 第 13講 │ 要點探究 例 1 函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ x 0 處可導(dǎo)，用 f ′( x 0 ) 表示下列各式： (1) limΔ x →0 f （ x 0 ＋ 2Δ x ） － f （ x 0 ）Δ x； (2) limh →0 f （ x 0 ＋ h ） － f （ x 0 － h ）h. [ 思路 ] 用導(dǎo)數(shù)的定義即可求解． [ 解答 ] (1) 原式＝ 2 limh →0 f （ x 0 ＋ h ） － f （ x 0 － h ）2 h＝ 2 f ′( x 0 ) ． 第 13講 │ 要點探究 [點評 ] 利用導(dǎo)數(shù)定義解題，要充分體會導(dǎo)數(shù)定義的實質(zhì)，表達式不同，但表達的實質(zhì)可能相同．比如下面的變式題： 第 13講 │ 要點探究 下列式子中與 f ′( x0) 相等的是 ( ) (1) li mΔ x →0 f （ x0） － f （ x0－ 2Δ x ）2Δ x； (2) li mΔ x →0 f （ x0＋ Δ x ） － f （ x0－ Δ x ）Δ x； (3) li mΔ x →0 f （ x0＋ 2Δ x ） － f （ x0＋ Δ x ）Δ x； (4) li mΔ x →0 f （ x0＋ Δ x ） － f （ x0－ 2Δ x ）Δ x. A ． (1) (2) B ． (1) (3) C ． (2) (3) D ． (1) (2)(3 )( 4) 第 13講 │ 要點探究 [思路 ] 緊扣導(dǎo)數(shù)定義，正確理解增量 Δx的實質(zhì)． B [解析 ] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，分子中 x0的增量應(yīng)與分母相同，故選 B. 第 13講 │ 要點探究 ? 探究點 2 利用求導(dǎo)法則求導(dǎo) 例 2 下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的個數(shù)為： ① (3x)′ ＝ 3xlog 3 e ； ② (l og 2 x )′ ＝1x ln2；對于 ③ ，函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，因此 ??????ex′ ＝ ex；對于 ④ ，函數(shù)為冪函數(shù)，因此 ??????xa′ ＝ axa － 1；對于 ⑤ ，函數(shù)為三角函數(shù)，因此 ??????cos x ′ ＝－ sin x . 以上只有 ②③ 兩個正確． [ 點評 ] 利用公式求導(dǎo)，不能混淆 “ 冪函數(shù) ” 與 “ 指數(shù)函數(shù) ” 的求導(dǎo)公式，不能混淆指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的系數(shù)與對數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的系數(shù)． 第 13講 │ 要點探究 例 3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) y ＝ ax＋ xa； (2) y ＝x － x5x2 ； (3) y ＝ eln xlg x ； (4) y ＝x2sin x . [ 解答 ] ( 1 ) y ′ ＝ ( ax)′ ＋ ( xa)′ ＝ axln a ＋ axa － 1； (2) y ＝x － x5x2 ＝ x－32－ x3， ∴ y ′ ＝ ( x－32)′ － ( x3)′ ＝ －32x－52－ 3 x2； (3) y ＝ eln xlg x ＝ x lg x ， y ′ ＝ ( x lg x )′ ＝ lg x ＋1ln10； (4) y ′ ＝??????x2sin x′ ＝2 x s in x － x2c os xsin2x. 第 13講 │ 要點探究 [點評 ] 對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的作用，在實施化簡時，要注意變換的等價性，避免不必要的失誤．對于某些不滿足求導(dǎo)法則條件的函數(shù)，可適當進行恒等變形，步步為營，使解決問題水到渠成． 第 13講 │ 要點探究 例 4 求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) y ＝ ln( x2＋ 1 ) ； (2) y ＝ cos2( x2－ x ) ； (3) y ＝ e－ 2 xsin??????3 x －π3. [ 思路 ] 本例題中的函數(shù)均為復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)時需搞清復(fù)合的層次，注意使用整體的觀點，弄清每一步是對哪一層求導(dǎo)，用什么公式求導(dǎo)． [ 解答 ] (1) y ′＝ [l n( x2＋ 1 )]′ ＝1x2＋ 1( x2＋ 1 )′ ＝1x2＋ 112 x2＋ 1( x2＋ 1 )′ ＝2 xx2＋ 12＝xx2＋ 1. (2) ∵ y ＝ cos2( x2－ x ) ＝1 ＋ x2－ 2 x2 ＝12＋x2－ 2 x2， 第 13講 │ 要點探究 ∴ y ′ ＝????????12＋x2－ 2 x2′ ＝－ (2 x2－ 2 x )′x －23x30＋43. ∵ 點 P (2,4) 在切線上， ∴ 4＝ 2 x20－23x30＋43，即 x30－ 3 x20＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x30＋ x20－ 4 x20＋ 4 ＝ 0 ， ∴ x20 ??????x0＋ 1－ 4??????x0＋ 1??????x0－ 1 ＝ 0 ， ∴??????x0＋ 1??????x0－ 22＝ 0 ，解得 x0＝－ 1 或 x0＝ 2 ，故所求的切線方程為 4 x － y － 4 ＝ 0 或 x － y ＋ 2 ＝ 0. 第 13講 │ 要點探究 (3) 設(shè)切點為??????x0， y0 ，故切線的斜率為 k ＝ x20＝ 1 ，解得 x0＝ 177
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