線性代數(shù)——矩陣的運(yùn)算-閱讀頁(yè)
2024-08-24 10:13本頁(yè)面
【正文】 A A A??設(shè) 是 階方陣，定義： ， ，()k l k l k l k l+A A = A A = A注 意 ： ， ，() k k kA B = A B但 不 一 定 成 立 。上頁(yè) 下頁(yè) 返回 例 3 n??? ????AA設(shè) 矩 陣 ， 求11012A解 ：? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 10 1 0 1???????120132?A A A? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 10 1 0 1???????130143?A A A? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?1 3 1 10 1 0 1???????1401n n??????A=利 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 可 以 證 明 ， 101nn?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 1 10 1 0 1 0 1上頁(yè) 下頁(yè) 返回 例 4 ,( + ) .n== = +=A B A AB B A B A BAB BA設(shè) 都 是 階 方 陣 ， 且 滿 足 ，及證 明 ：222==A A B B證 明 由 已 知 ， ， 有222()?AB? ? ? ?A A B B A B( + ) =+A B A B而 已 知 ， 所 以2+ + + = +A A B B A B A B? ? ? ?A A B B A B22上頁(yè) 下頁(yè) 返回 A B + B A = O即A用 分別左乘，右乘上式，得A B + A B A =2??A B A B A 2A B =所以有 A B = B A = O注：事實(shí)上 AB + AB A=O?AB BA?O??ABA BA上頁(yè) 下頁(yè) 返回 四、矩陣轉(zhuǎn)置 定義 11 21 112 22 212()ijmmn n m nA a m na a aa a aa a a??????????????設(shè) 是 矩陣，稱矩陣T .AA為矩陣 的轉(zhuǎn)置，記為上頁(yè) 下頁(yè) 返回 轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ? ? ? ? 。2 TTT BABA ???? ? ? ? 。 1 , 2, , )ssk i j k j k k i j ikkb a a b c i n j m??? ? ? ? ??? ， 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 設(shè) 為 階方陣，如果滿足 ，即 那么 稱為 對(duì)稱陣 . A n TAA ?? ?n,j,iaa jiij ?21??A.A 為對(duì)稱陣?yán)???????????6010861612說明 對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相 等 . .稱為反對(duì)稱的則矩陣如果 AAA T ??T T T T, ( ) ?D = C A B B A即 亦 即 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 例 5 設(shè)列矩陣 滿足 ? ?TnxxxX , 21 ?? ,1?XX T.,2,EHHHXXEHnETT???且陣是對(duì)稱矩證明階單位矩陣為證明 ? ?TTT XXEH 2??? ? ?TTT XXE 2??,2 HXXE T ???.是對(duì)稱矩陣H?2HHH T ? ? ?22 TXXE ??? ?? ?TTT XXXXXXE 44 ??? ? ? TTT XXXXXXE 44 ???TT XXXXE 44 ??? .E?上頁(yè) 下頁(yè) 返回 五、方陣的行列式 定義 由 階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式， 叫做方陣 的行列式，記作 或 n AA A .det A???????8632A例8632?A則.2??運(yùn)算性質(zhì) ? ? 。2 AA n?? ?? ? 。2 AA ?? ?? ? .3 BAAB ?運(yùn)算性質(zhì) ?
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