離散數(shù)學-集合證明-閱讀頁
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【正文】 ? {x}?P(B) (P(A)?P(B)) ? x?B ? A?B. 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 49 冪集的性質 (證明 2) ? P(A)?P(B) ? P(A?B) 證明 : ?x, x?P(A)?P(B) ? x?P(A)?x?P(B) ? x?A?x?B ? x?A?B ? x?P(A?B) ? P(A)?P(B) ? P(A?B) 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 50 冪集的性質 (證明 續(xù) ) ?P(A)?P(B) ? P(A?B) 討論 : 給出 反例 , 說明等號不成立 : A={1}, B={2}, A?B={1,2}, P(A)={?,{1}}, P(B)={?,{2}}, P(A?B)= {?,{1},{2},{1,2}} P(A)?P(B) ? {?,{1},{2}} 此時 , P(A)?P(B) ? P(A?B). 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 51 冪集的性質 (證明 3) ? P(A)?P(B) = P(A?B) 證明 : ?x, x?P(A)?P(B) ? x?P(A) ? x?P(B) ? x?A ? x?B ? x? A?B ? x?P(A?B) ? P(A)?P(B) = P(A?B). 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 52 冪集的性質 (證明 4) ?P(AB) ? (P(A)P(B))?{?} 證明 : ?x, 分兩種情況 , (1) x=?, 這時 x?P(AB) 并且 x?(P(A)P(B))?{?} (2) x??, 這時 x?P(AB) ? x? AB ? x?A?x?B ? x?P(A)?x?P(B) ? x?P(A)P(B) ? P(AB) ? (P(A)P(B))?{?}. A B 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 53 集合運算的優(yōu)先級 ?分三級 : 第一級最高 , 依次降低 ?第一級 : 補 ~, 冪 P() ?第二級 : 廣義并 ∪ , 廣義交 ∩ ?第三級 : 并 ?, 交 ?, 相對補 , 對稱差 ? ?同一級 : 用括號表示先后順序 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 54 集合列的極限 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 55 集合列的極限 ?Infinite often( .): ?Almost everywhere(.) 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 56 集合列的極限 ?上極限 : ?下極限 : .}.|{lim oiAxxA kkk ????.}.|{lim eaAxxA kkk????2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 57 集合列的極限 ?性質 : ? ????????1limn nkkkk AA? ????????1limn nkkkkAA2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 58 集合論悖論 ?羅素悖論 (Russell’s paradox)： S = { x | x?x } S?S ? S?S ? S?S S?S ? S?S 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 59 集合論公理 ? 外延公理 : 所含元素相同的兩個集合是相等的 ? 空集存在公理 : 空集合存在 ? 無序對公理 : 對任意的 a,b, {a,b}存在 ? 并集公理 : 對任意的 A, ∪ A存在 ? 冪集公理 : 對任意的 A, P(A)存在 ? 聯(lián)集公理 : 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 60 集合論公理 (續(xù) ) ? 子集公理 : { x?A | P(x) }存在 ? 正則公理 : 若 S??,則 ?x(x?S??y(y?S?x?y)) ? 無窮公理 : 無窮集存在 ? 替換公理 : { f(a) | a?A }存在 ( f是定義域為 A的函數(shù) ) 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 61 集合論公理 (續(xù) ) ?選擇公理 (Zorn引理 , 良序原理 ): A是 元素互不相交的集合 ,則可以從 A的每個 元素中恰好選擇一個 元素 , 構成一個集合 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 62 總結 ? 集合恒等式 ? 集合恒等式的證明 ? 集合論悖論 2022/8/27 《集合論與圖論》第 4講 63 作業(yè) (2) ? p27, 習題一 , 11, 13, 14, 20 ? 今天 1班 交作業(yè) (1)
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