【正文】 =DF，接下來(lái)依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點(diǎn)O．由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來(lái)，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系；（3）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結(jié)論可求得FG=4，然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng)，最后依據(jù)BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）證明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四邊形EFDG為菱形．（2）EG2=GF?AF．理由：如圖1所示：連接DE，交AF于點(diǎn)O．∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90176。遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（∠B=90176。四川省攀枝花即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180176?！郃P⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故①正確；②∵∠APB=90176。由折疊得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90176。時(shí)，才有∠FPC=∠FCP，如右圖，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正確；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90176。∠FAD=∠ABP，當(dāng)BP=AD或△BPC是等邊三角形時(shí)，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正確；其中正確結(jié)論有①②，2個(gè)． 故選B．13. （20183分）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D．若⊙O的半徑為，AB=4，則BC的長(zhǎng)是（　?。〢． B．遼寧省葫蘆島市) 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將△BCE沿BE折疊后得到△BEF、且點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G．若=，則=?。?【解答】解：連接GE．∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴EC=DE．∵將△BCE沿BE折疊后得到△BEF、且點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，∴EF=DE，∠BFE=90176。四川宜賓∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM= ，∴AF=2AM= ，故②正確，如圖2中，當(dāng)A、F、C共線時(shí)，設(shè)AE=x．則EB=EF=3﹣x，AF= ﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x= ，∴AE= ，故③正確，如果，△CEF≌△AEF，則∠EAF=∠ECF=∠ECB=30176。湖北省宜昌AB=DC再判斷出AE=DE，即可得出結(jié)論；（2）①利用折疊的性質(zhì)，得出∠PGC=∠PBC=90176。AB=DC，∵E是AD中點(diǎn)，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90176?！螧PC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②當(dāng)AD=25時(shí)，∵∠BEC=90176?！摺螦EB+∠ABE=90176?！唷鰽BE∽△DEC，∴，設(shè)AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折疊得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，設(shè)BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如圖，連接FG，∵∠GEF=∠BAE=90176。廣東（2）證明：∵點(diǎn)D在⊙O上，∴∠ADB=90176。AE，∴AB2=AD∵OB是半徑，∴BE為的⊙O切線。AE，∴AE=5，DE=AEAD=54=1，∵∠BDF=∠C=90176。；易知∠ADB=90176。AE和AC=AD可證明；（3）易知∠BDF=∠ADB=90176?！咎骄科?9. （2018年江蘇省泰州市?12分）對(duì)給定的一張矩形紙片ABCD進(jìn)行如下操作：先沿CE折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上（如圖①），再沿CH折疊，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合（如圖②）（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求的值；（2）將該矩形紙片展開．①如圖③，折疊該矩形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)H重合，折痕與AB相交于點(diǎn)P，再將該矩形紙片展開．求證：∠HPC=90176。即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），進(jìn)而得到∠CPH=90176?？傻谩螧CP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45176。又∵∠B=90176。=，即CE=BC，由圖②，可得CE=CD，而AD=BC，∴CD=AD，∴=；（2）①設(shè)AD=BC=a，則AB=CD=a，BE=a，∴AE=（﹣1）a，如圖③，連接EH，則∠CEH=∠CDH=90176?！螦=90176。=∠AHE，∴AH=AE=（﹣1）a，設(shè)AP=x，則BP=a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，∴AH2+AP2=BP2+BC2，即[（﹣1）a]2+x2=（a﹣x）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又∵PH=CP，∠A=∠B=90176?！唷螦PH+∠BPC=90176。；②折法：如圖，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿著過(guò)D的直線翻折，使點(diǎn)A落在CD邊上，此時(shí)折痕與AB的交點(diǎn)即為P；折法：如圖，由∠BCE=∠PCH=45176?？傻谩螾CE=∠DCH，又∵∠DCH=∠ECH，∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿著過(guò)點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在CE上，此時(shí)，折痕與AB的交點(diǎn)即為P．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于折疊問(wèn)題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．解題時(shí)常常設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．20. （2018年江蘇省宿遷）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE=x，（1）當(dāng)AM= 時(shí)，求x的值； （2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如不變，請(qǐng)求出該定值； （3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值. 【答案】（1）解：由折疊性質(zhì)可知：BE=ME=x，∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為1∴AE=1x，在Rt△AME中，∴AE2+AM2=ME2 ， 即（1x）2+ =x2 ， 解得：x= .（2）解：△PDM的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，且為定值2.連接BM、BP，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MN，∵BE=ME，∴∠EBM=∠EMB，又∵∠EBC=∠EMN=90176?！唷螹BC=∠BMN，又∵正方形ABCD，∴AD∥BC，AB=BC，∴∠AMB=∠MBC=∠BMN，在Rt△ABM和Rt△HBM中，∵ ,∴Rt△ABM≌Rt△HBM（AAS），∴AM=HM，AB=HB=BC，在Rt△BHP和Rt△BCP中，∵ ,∴Rt△BHP≌Rt△BCP（HL），∴HP=CP，又∵C△PDM=MD+DP+MP， =MD+DP+AM+PC, =2.∴△PDM的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，且為定值2.（3）解：過(guò)F作FQ⊥AB，連接BM，由折疊性質(zhì)可知：∠BEF=∠MEF,BM⊥EF，∴∠EBM+∠BEF=∠EMB+∠MEF=∠QFE+∠BEF=90176