【正文】 和土壤的危害稱(chēng)為綜合危害，用總礦化度表示。 ? 屬于鹽堿類(lèi)型的灌溉水，教材表 39列出雙指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，即當(dāng)鹽度大于 10時(shí)，按鹽害和堿害這一對(duì)指標(biāo)評(píng)價(jià)水質(zhì)。表 310給出了灌溉水質(zhì)評(píng)價(jià)指標(biāo)。 ?2 農(nóng)田灌溉水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn) ? 該標(biāo)準(zhǔn)適合于以地表水，地下水，工業(yè)廢水和生活污水做農(nóng)田灌溉用水。 LOGO 第三章 地下水資源計(jì)算的數(shù)值法 ?第一節(jié) 基本概念 ?一、前言 ? 在地下水資源評(píng)價(jià)中，需要通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型得到地下水位的變化過(guò)程與水文地質(zhì)參數(shù)等。 ? 地下水非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)理論是以質(zhì)量守恒性（連續(xù)性原理）和能量轉(zhuǎn)換性（達(dá)西定律）為基礎(chǔ)，對(duì)任何復(fù)雜的地下水流系統(tǒng)都可建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即支配地下水運(yùn)動(dòng)的偏微分方程以及決定其解初始條件和邊界條件。 ? LOGO 第三章 地下水資源計(jì)算的數(shù)值法 ? ? 實(shí)際應(yīng)用中地下水條件復(fù)雜，如滲流區(qū)域形狀不規(guī)則；含水層是非均勻的，含水層的厚度隨時(shí)空變化，隔水底板不平；地下水的補(bǔ)水源中包含線性補(bǔ)給和局部的面狀補(bǔ)給；排泄條件的復(fù)雜和變化；含水層不同地段的各向異性等等；使得地下水資源計(jì)算評(píng)價(jià)模型復(fù)雜，解析法求解困難，若對(duì)實(shí)際問(wèn)題過(guò)渡簡(jiǎn)化，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際不符，從而失去了實(shí)用價(jià)值。數(shù)值方法作為一種求解近似解的方法被廣泛用于地下水水位預(yù)報(bào)和資源評(píng)價(jià)中。對(duì)時(shí)間離散化，劃為若干時(shí)段。 ?（ 3）建立某一時(shí)段內(nèi)結(jié)點(diǎn)之間制約各種物理量的關(guān)系式。 ?（ 5）求解由（ 3）和（ 4）組成的方程組，即可求得某一時(shí)刻， ? 研究區(qū)域上各離散點(diǎn)的水位 H值，其集合 H就是滲流區(qū)域 ? 上某一時(shí)刻地下水位 H的近似解。 ?本章介紹常用的兩種方法：有限差分法和有限元法 。 ? 首先將地下水區(qū)域離散化網(wǎng)格狀的小區(qū)域，簡(jiǎn)化為有限個(gè)結(jié)點(diǎn)，并對(duì)時(shí)間坐標(biāo)離散化；采用一定差分格式將微分方程變成差分方程；解差分方程組；邊界條件處理。 ?區(qū)域離散化：用兩組正交的平行線，把區(qū)域剖分成有限個(gè)小區(qū)域。結(jié)點(diǎn)編號(hào)：（ i, j） ,剖分網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為Δ x,Δ y,也即相鄰結(jié)點(diǎn)的間距、空間步長(zhǎng)。 ?承壓含水層二維非穩(wěn)定流偏微分方程進(jìn)行差分 LOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ?二、非均質(zhì)各向異性的承壓含水層二維非穩(wěn)定流微分方程 ? ? ＋ ＋ ε ＝ u* （ 1） ? H— 地下水水頭 T— 導(dǎo)水系數(shù) u*— 承壓含水層出水系數(shù) ? ε — 垂直方向水量交換量，不給為正，消耗為負(fù)，包括入滲、蒸發(fā)、越流補(bǔ)給或抽水。－ Ti1/2,j(Hi,j－ Hi1,j))/Δ x178。－ Ti,j1/2(Hi,j－ Hi,j1)/Δ y178。－ ( Ti1/2,j＋ Ti+1/2,j )Hi,j /Δ x178。＋ Ti,j1/2 Hi,j1/Δ y178。＋ Ti,j+1/2 Hi,j+1/Δ y178。＝ ui,jΔ x178。 （ 4） ?γ 1=Δ tK/ui,jΔ x178。 1,kijH?,kijH1,kijH ? ,kijH 1,kijH ?,1kijH ? ,kijH 1,kijH ?1,kijH?,kijH 1,kijH ?,kijH 1,kijH ? ,1kijH ?1,kijH ?LOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ?（ 1）當(dāng) r1(Ti1/2,j＋ Ti+1/2,j＋ Ti,j1/2＋ Ti,j+1/2)≤1 時(shí)，顯式差 ? 分格式才是穩(wěn)定的，差分方程的解收斂于微分方程的解。／（ Ti1/2,j＋ Ti+1/2,j＋ Ti,j1/2＋ Ti,j+1/2) ? 校核或選取時(shí)段或步長(zhǎng)，當(dāng)含水層 T值較大， U值較小時(shí)，可選取較大的步長(zhǎng)。 ?四、隱式差分格式： 水頭 H取時(shí)段（ k,k+1)末 tk＋ 1時(shí)刻的值， ? 等步長(zhǎng) Δ x＝ Δ y ?Ti1/2,j － ( Ti1/2,j＋ Ti+1/2,j ) ＋ Ti+1/2,j ? ＋ Ti,j1/2 － (Ti,j1/2＋ Ti,j+1/2 ) ＋ Ti,j+1/2 ?＋ ε i,jΔ x178。( － )/Δ tK （ 6） 11,kijH??1,kijH? 11,kijH??1,1kijH??1,kijH? 1,1kijH??1,kijH?,kijHLOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ?Ti1/2,j － ( Ti1/2,j＋ Ti+1/2,j＋ Ti,j1/2＋ Ti,j+1/2＋ ui,jΔ x178。 /Δ tK － ε i,jΔ x178。 ?簡(jiǎn)化為一線性代數(shù)方程組： ?ai,j ＋ bi,j ＋ ci,j ＋ ei,j ＋ fi,j ＝ di,j ? i＝ 1,2,...,n 。 11,kijH??1,kijH? 11,kijH??1,1kijH??1,1kijH??,kijH11,kijH??1,kijH? 11,kijH??1,1kijH??1,1kijH??LOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ?五、中心差分格式 ?（ 2）式等式左端水頭 H取時(shí)段（ k,k+1)末 tk＋ 1/2時(shí)刻的值 ? Ti1/2,j － ( Ti1/2,j＋ Ti+1/2,j） ＋ Ti+1/2,j ＋ Ti,j1/2 ? －（ Ti,j1/2＋ Ti,j+1/2） ＋ Ti,j+1/2 ＋ ε i,jΔ x178。/Δ tK（ － ） ?若時(shí)段內(nèi)水頭變化比較均勻。/Δ tK) ? ＋ Ti+1/2,j ＋ Ti,j1/2 ＋ Ti,j+1/2 ? ＝－ 2ε i,jΔ x178。/Δ tK ） － Ti+1/2,j － Ti,j1/2 － Ti,j+1/2 ? ai,j ＋ bi,j ＋ ci,j ＋ ei,j ＋ fi,j ＝ di,j ?（ 9）式左端包含 k+1時(shí)刻 5個(gè)未知水頭，無(wú)條件穩(wěn)定，精度比隱式差分要高。如邊界點(diǎn)已知水頭 Hb在結(jié)點(diǎn)（ 1,3）上： ? = = Hb ， 只需將該值代入與結(jié)點(diǎn)（ 1,3）有關(guān)的內(nèi)結(jié)點(diǎn)即可。在隔水邊界外再設(shè)一排虛結(jié)點(diǎn)，令虛結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)水系數(shù)為零（ T＝ 0)，這樣在隔水邊界內(nèi)側(cè)結(jié)點(diǎn)上列差分方程時(shí)，自然會(huì)形成隔水邊界，如圖所示（ a)。流入均衡區(qū)為正，流出為負(fù)，并記入 ε i,j項(xiàng)中，形成隔水邊界同二類(lèi)進(jìn)行處理。取時(shí)段初與時(shí)段末的徑流量的平均值并入 ε i,j項(xiàng)中，形成隔水邊界同二類(lèi)進(jìn)行處理。 Hn??1,knjH? 11,knjH??LOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ?七、例題 一維承壓含水層非穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型有限差分法。由于某種原因，兩條對(duì)稱(chēng)邊界河流水位突然下降至 0－ 0，求解含水層的水頭隨時(shí)間下降的過(guò)程。 ? = uiΔ x178。 ? ai ＋ bi ＋ ci ＝ di ? i= ...n ?區(qū)域離散化： Δ x＝ L/(n+1)，將區(qū)域（ 0～ L） n+1等份， 0結(jié)點(diǎn)和 n結(jié)點(diǎn)位于左端和右端邊界上，邊界結(jié)點(diǎn) H0＝ Hn+1＝ Hb。 ? an ＋ bn ＝ dn ＝ dn185。 ? a2 ＋ b2 ＋ c2 ＝ d2 ? an1 ＋ bn1 ＋ 1 ＝ dn1 ? ? an ＋ bn ＝ dn185。 112222220... ...0nnnnnbca b ca b cab?????????????????????????1112111...KKKnknHHHH???????????????????????????????1112...nndddd?????????????????????????LOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ?八、例題 二維承壓含水層非穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型有限差分法 ?ai,j ＋ bi,j ＋ ci,j ＋ ei,j ＋ fi,j ＝ di,j ?將邊界條件和初始條件代入方程構(gòu)成一封閉的線性代數(shù)方程組。但上式是五對(duì)角線性方程組即系數(shù)矩陣為大型稀疏陣，為提高計(jì)算效率可采用超松弛法或交替方向隱式差分法求解。采用超松弛法或交替方向隱式差分法求解，用所得結(jié)果與假定值比較，若精度滿足要求，計(jì)算結(jié)束，否則用所得結(jié)果重新計(jì)算 T值，形成一個(gè)迭代過(guò)程。 ? 一般將地下水區(qū)域離散化三角形網(wǎng)格狀的小單元和有限個(gè)結(jié)點(diǎn)，并對(duì)時(shí)間坐標(biāo)離散化；采用簡(jiǎn)單的插值函數(shù)近似表示單元上的水頭分布，以此求偏微分方程的加權(quán)積分，然后離散集合起來(lái)形成線性代數(shù)方程組；對(duì)邊界條件進(jìn)行處理，并對(duì)井群處理，解代數(shù)方程組；可求解各個(gè)結(jié)點(diǎn)水頭。從邊界開(kāi)始剖分為 P個(gè)三角形單元，三角形的公共交點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，共計(jì) m個(gè)；未知水頭結(jié)點(diǎn) n個(gè)（其中內(nèi)結(jié)點(diǎn) n1個(gè)， n2個(gè)二類(lèi)邊界點(diǎn)），已知水頭結(jié)點(diǎn) n3個(gè)。 LOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ?（二）剩余量加權(quán)積分法 ?函數(shù) L(U)＝ 0定義在二維區(qū)域 Ω上 ,設(shè)平面插值函數(shù) ? ? u＝ α iΦi 是方程的近似解，且滿足邊界條件， ? 則 L(u)＝ R≠0 ， R稱(chēng)為剩余量。 ?選用與系數(shù) α i相對(duì)應(yīng)的權(quán)函數(shù) Wi，使剩余量 R在區(qū)域 Ω上 ? 的加權(quán)積分等于零。 ni?R W id xdy???R id xdy????LOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ?(三） 基函數(shù) Φi的構(gòu)成 ?設(shè)三角形單元 e的三個(gè)結(jié)點(diǎn)按順時(shí)針編號(hào) i, j, k，其坐標(biāo)（ xi ,yi ) ,(xj ,yj ) ,(xk ,yk )。 ? φ i ( Xi ,Yi )＝ α i +β ixi +γ i yi＝ 1 ? φ i ( Xj ,Yj )＝ α j +β ixj +γ i yj＝ 0 ? φ i ( Xk ,Yk )＝ α j +β ixk +γ i yk＝ 0 LOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ? 按克萊姆法則求 α i , β i , γ i ? φ i(x ,y)＝ (ai＋ bix＋ ciy)/2Δ e ? 同理 φ j(x ,y)＝ (aj＋ bjx＋ cjy)/2Δ e ? φ k(x ,y)＝ (ak＋ bkx＋ cky)/2Δ e ? φ i(x ,y)＋ φ j (x ,y)＋ φ k (x ,y)＝ 1 ? ai、 bi、 ci為坐標(biāo)輪減數(shù)， Δ e 為單元 e的面積 。 ? Φi(x,y)＝ (x,y) x,y∈e1 ? (x,y) x,y∈e2 ? ...... ? (x,y) x,y∈ep1 1ei?2ei?1epi?LOGO 第三章 地下水資源數(shù)量數(shù)值計(jì)算 ? 基函數(shù) Φi（ x,y）的特點(diǎn)：在結(jié)點(diǎn) i上取值為 1 ，在相鄰結(jié)點(diǎn)上取值為 0 ，在 p1個(gè)三角形單元圍成的區(qū)域內(nèi)按線性變化。 ?（五）承壓二維非穩(wěn)定流迦遼金有限元解法 ? ＋ ＋ ε ＝ u* （ 1） ? H(x,y,0)＝ Ha（ x,y) x,y∈ Ω ,t=0 ? H(x,y,t)＝