山東省泰安市20xx屆高考數(shù)學(xué)一模試卷理含解析-閱讀頁
2024-12-01 05:28本頁面
【正文】 2） ?3n﹣ 1=（ 2n﹣ 1） ?3n﹣ 1， ∴b n=2n﹣ 1， 當(dāng) n=1時(shí)， a1b1=1， 即 b1=1滿足上式， ∴ 數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式是 bn=2n﹣ 1； （ 2）若 man≥b n﹣ 8恒成立，即為 m≥ 的最大值， 由 = ， n≥2 時(shí)， ﹣ 1= ， ﹣ ﹣ 1= ﹣ = ， 可得 n=2， 3， ? ， 6時(shí)， ≥c n﹣ 1； n=7， ? 時(shí)， ＜ ﹣ 1． 即有 n=5或 6時(shí)， 取得最大值，且為 ， 即為 m≥ ，可得 m的最小值為 ． 19．如圖，在三棱錐 P﹣ ABC中， AB⊥ 平面 PAC， ∠APC=90 176。 ，求二面角 P﹣ CE﹣ A的大?。? 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定． 【分析】 （ 1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面 PCE⊥ 平面 PAB． （ 2）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明平面 MNF∥ 平面 PAC，即可證明 MN∥ 平面 PAC； （ 3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出對應(yīng)平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可． 【解答】 證明：（ 1） ∵∠APC=90176。 ， ∵∠APC=90176。= = ， AE= ， 則 A（ ， 0， 0）， E（ ， ， 0）， C（﹣ ， 0， 0）， P（ 0， 0， ）， 則平面 AEC的一個(gè)法向量為 =（ 0， 0， 1）， 設(shè)平面 PEC的一個(gè)法向量為 =（ x， y， z）， 則 =（ ， ， 0）， =（﹣ ， 0，﹣ ）， 則 ，即 ， 即 ，令 x=1，則 z=﹣ ， y=2 ， 即 =（ 1， 2 ，﹣ ），則 | |= =2 ， 則 cos＜ ， ＞ = = ==﹣ ， 即＜ ， ＞ =120176。 ． 20．如圖： A， B， C是橢圓 的頂點(diǎn)，點(diǎn) F（ c， 0）為橢圓的右焦點(diǎn)，原點(diǎn) O到直線 CF的距離為 ，且橢圓過點(diǎn) ． （ Ⅰ ）求橢圓的方程； （ Ⅱ ）若 P是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線 CP交 x軸于點(diǎn) E，直線 BC與 AP相交于點(diǎn) D，連結(jié) DE．設(shè)直線 AP的斜率為 k，直線 DE的斜率為 k1，問是否存在實(shí)數(shù) λ ，使得成立，若存在求出 λ 的值，若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】 （ Ⅰ ）推導(dǎo)出直線 CF的方程為 bx+cy﹣ bc=0，由原點(diǎn) O到 CF的距離為 ，橢圓過點(diǎn) ，求出 a， b，由此能求出橢圓方程． （ Ⅱ ）求出直線 BC的方程為 y= ，直線 AP的方程為： y=k（ x﹣ 4），代入橢圓方程，得（ 4k2+1） x2﹣ 32k2x+64k2﹣ 16=0，求出直線 CP的方程為 y= ，從而得到 E（ ， 0），將直線 BC與直線 AP 聯(lián)立，得 D（ ， ），由此能求出 λ ． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由題 意，得 C（ 0， b）， ∴ 直線 CF的方程為 y=﹣ +b， 即 bx+cy﹣ bc=0， 又原點(diǎn) O到 CF的距離為 ， ∴ = ，由 b2+c2=a2整理，得 a=2b， 又橢圓過點(diǎn) ， ∴ =1， 解得 a2=16， b2=4， ∴ 橢圓方程為 ． （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知 B（﹣ 4， 0）， C（ 0， 2）， 故直線 BC的方程為 y= ， ∵ 直線 AP的斜率為 k，點(diǎn) A（ 4， 0）， ∴ 直線 AP的方程為： y=k（ x﹣ 4）， 聯(lián)立 ，得（ 4k2+1） x2﹣ 32k2x+64k2﹣ 16=0， 又點(diǎn) P（ xP， yp）在橢圓上，故有： 4?xP= ， ∴x P= ， ， ∴P （ ， ）， 故直線 CP的方程為 y= x+2， 即 y= ， 又點(diǎn) E為直線 CP與 x軸交點(diǎn)，令 y=0得 x= ， ∴E （ ， 0）， 將直線 BC與直線 AP聯(lián)立，得： ，解得 ， ∴D （ ， ）， 故直線 DE的斜率為： = = ， ∴ ， ∴λ=2 ． 21．已知函數(shù) f（ x） =lnx （ Ⅰ ）若函數(shù) F（ x） =tf（ x）與函數(shù) g（ x） =x2﹣ 1在點(diǎn) x=1處有共同的切線 l，求 t的值； （ Ⅱ ）證明： ； （ Ⅲ ）若不等式 mf（ x） ≥a+x 對所有的 都成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍． 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【 分析】 （ Ⅰ ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論． （ Ⅱ ）構(gòu)造函數(shù) h（ x） =f（ x）﹣ x和 G（ x） = ，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別求出函數(shù)的最值進(jìn)行比較比較即可． （ Ⅲ ）利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為以 m為變量的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可． 【解答】 解：（ Ⅰ ） g′ （ x） =2x， F（ x） =tf（ x） =tlnx， F′ （ x） =tf′ （ x） = ， ∵F （ x） =tf（ x）與函數(shù) g（ x） =x2﹣ 1在點(diǎn) x=1處有共 同的切線 l， ∴k=F′ （ 1） =g′ （ 1）， 即 t=2， （ Ⅱ ）令 h（ x） =f（ x）﹣ x，則 h′ （ x） = ﹣ 1= ，則 h（ x）在（ 0， 1）上是增函數(shù)，在（ 1， +∞ ）上是減函數(shù)， ∴h （ x）的最大值為 h（ 1） =﹣ 1， ∴|h （ x） |的最大值是 1， 設(shè) G（ x） = = + ， G′ （ x） = ， 故 G（ x）在（ 0， e）上是增函數(shù)，在（ e， +∞ ）上是減函數(shù)， 故 G（ x） max= + ＜ 1， ∴ ； （ Ⅲ ）不等式 mf（ x） ≥a+x 對所有的 都成立， 則 a≤mlnx ﹣ x對所有的 都成立， 令 H（ x） =mlnx﹣ x， 是關(guān)于 m的一次函數(shù)， ∵x ∈ [1， e2]， ∴l(xiāng)nx ∈ [0， 2]， ∴ 當(dāng) m=0時(shí)， H（ m）取得最小值﹣ x， 即 a≤ ﹣ x，當(dāng) x∈ [1， e2]時(shí)，恒成立， 故 a≤ ﹣ e2．
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