01-線性空間與子空間-閱讀頁
2025-08-10 09:58本頁面
【正文】 其中C稱為過渡矩陣，上式就給出了基變換關(guān)系，可以證明，C是可逆的。線性子空間一、線性子空間的定義及其性質(zhì)1. 定義：設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間V的一個非空子集合，且對V已有的線性運算滿足以下條件（1） 如果x、yV1，則x＋yV1；（2） 如果xV1，kK，則kxV1，則稱V1是V的一個線性子空間或子空間。[證明]（1）0 V中的零元素也在V1中，V1與V享有共同的零元素。、xm為V中的元素，它們的所有線性組合的集合 也是V的線性子空間，稱為由xx、xm)或者Span(xx若xx、xm)}=m5. 基擴定理：設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間Vn的一個m維子空間，xx、xn，使得xx這nm個元素必不在V1中。：若V1和V2是線性空間V的兩個子空間，則，V1＋V2均為V的子空間[證明]（1） 是V的一個線性子空間。4. 維數(shù)公式：若VV2是線性空間V的子空間，則有dim(V1+V2)+ dim()= dimV1+ dimV2[證明] 設(shè)dimV1=n1, dimV2=n2, dim()=m需要證明dim(V1+V2)＝n1＋n2－m設(shè)xx、yn1－mV1，使xx、yn1－m成為V1的一個基； 2）zz、xm、zz、xm、yy、zn2－m，若能證明它為V1+V2的一個基，則有dim(V1+V2)＝n1＋n2－m。假定上述元素組線性相關(guān)，則存在一組不全為0的數(shù)kk、pn1－m、qq、xm、yy dim(V1+V2)＝n1＋n2－m三、子空間的直和1. 定義：設(shè)VV2是線性空間V的子空間，若其和空間V1+V2中的任一元素只能唯一的表示為V1的一個元素與V2的一個元素之和，即，存在唯一的、使，則稱為V1與V2的直和，記為子空間的直和并不是一種特殊的和，仍然是，反映的是兩個子空間的關(guān)系特殊。、xs為V1的基，yy、xs、yy、xs、yy假設(shè)xx、yt線性相關(guān)，即存在不全為0的 使＝0 而 ＝－y ＝0同理這與其線性相關(guān)性矛盾，xx、yt線性無關(guān) xx、yt可作為的基（4）（1）：已知（4）成立 在xx、yt這組基下存在唯一的坐標(biāo)使 x＝ 成為直和作業(yè)：P25－26 7，9，1216
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