【正文】 ? ?m n m nf x f x f f x x?? ? ? ? （ 1） 由此可知 ??nf 是 1R 中的基本列， 由 1R 的完備性知： ??nf 在 1R 中收斂，設 ??nfx= ??fx, xX? ,可 以 驗證 ??fx是線性有界泛函。 下面證明： ??nf 依范數(shù)收斂于 ??fx，在（ 1）式中令 ,??m ， Nn? 固 定得： ? ? ? ? xxfxf n ??? ，由范數(shù)定義可知：當 Nn? 時 ， ??? nff 即 ? ???? nffn 。 ??2 pl 的共軛空間為 ql （ 111,1 ??????qpp， p 、 q 互為共軛指數(shù)）。 ??4 ?? ba，C 的共 軛空間是 0V ??ba， 。 （特別指出：泛恩 巴拿赫定理既保證了最小范數(shù)延拓的存在性又指出了這 10 個最佳延拓的范數(shù)就是 f 的范數(shù)） 推論 ：（有界線性泛函足夠多定理） 如 果 X 是一線性賦范空間，對任何， Xx?0 ， 00?x ， 那么必存在 X 上的線性連續(xù)泛函 f 滿足： ??1 ? ? 00 xxf ? ??2 1?f 證明：若 ? ?kttxG ?? 0 ， 則 G 是由 0x 張成的子空間，其中 Xx?0 ， 00?x ，那么在 G 上定義泛函如下： ? ? 0xtx ?? ， Gtxx ?? 0 ，顯然 有 ? ? 00 xx ?? ，? ? xtxxtx ??? 00? ， Gtxx ??? 0 ，從而 有： 1?G? ，根據(jù) HahnBanach（延拓定理），可以把 G 上的線性有界泛函 ??x? 延拓到 X 上得到 f ，且有 ?Xf 1?G? 。 在 1G 上 作 泛 函 ? ， ? ? ? ? tdtxxy ??? 0?? ，, 111 GyxR ???? ， ?? ? ? ? ? ?????? 0011 txxtxxyx ???????? ? ? ? ?? ?0txx ????? ??? ? ? ? ? ? ?11 yxtdtdtd ???????? ?????? 。 ? ? ? ? 00, 0 ?????? xxxGx ?? ， 0txxy ??? 1G? 1, RtGx ?? 。 ??2 如果 X 是線性賦范空間， 那么 X 與二次共軛 ?X 的某個子空間 x 線性等距同構(gòu)。 證明：由于 XCx ?: 是有界的， 那么 Cz?? 有 ? ?? ??zxf ??zxf ? Mf ，所以 ??xf 是有界的整函數(shù)，由劉維爾定理可知： ,0 Cz?? ,Cz?? 有? ?? ? ? ?? ?0zxfzxf ? ， 即 ? ? ? ?? ? .00 ?? zxzxf 由 HahnBanach 定理可知： ? ? ? ? 00 ?? zxzx即 ? ? ? ?0zxzx ? 。（或者稱為映射） 12 命題 線性算子： 如果 21 XX， 是同一 數(shù)域 K 上的兩個線性賦范空間， D 是 1X 的線性子空間， 設 2: XDT ? ， 若 對于任何 21 XX， D? ， K???, ， 有 . ? ? ? ? ? ?2121 xTxTxxT ???? ??? ， 那么稱 T 為 D 上的線性算子。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 1k e r ?????? TTxDxTTN 那么 稱 T 為 零空間（或核）。 ??2 如果 ? ? ???TDdim ， 那么 dimR(T) ≤ dimD(T) 命題 算子有界： 如果 ? ? 21: XXDT ?? 是線性算子，那么 稱 T 在 D 上有界 是指 0??M ，使 得 對任何 Dx? 有 ， MxTx? 。 線性有界算子與線性連續(xù)的關(guān)系 命題 如果 ? ? 21: XXDT ?? 是線性算子， 那么 T 在 D 上連續(xù)等價于 T 在某一 點 Dx?0 上連續(xù)。（這就 是 說在研究線性賦范空間有界性時可以研究其上的連續(xù)性） 例 1： 如果 X 是線性賦范空間， ? 是某一常數(shù)， Xx?? ，令 axTx? ，證明： T 是 XX? 的線性有界算子。 即 T 為線性算子，又因為： xaaxTx ?? ，所以 ： T 是線性有界算子。 證明： ??1 ? ?baCxx , 21 ? ， ??， 為實數(shù)， 那么 有 ? ??? 21 xxT ?? . ? ? ? ?? ? ????? dxxta? ?? 21 ? ? ? ? ?????? dxdx tata ?? ?? 21= 21 TxTx ?? ? 。 例 3：證明 nm? 矩陣 ? ?ijaA? 是線性有界算子。易證 明 A 是線 性算子，下 面 證 明 A 是有界的 。讓 ??? ??minj ijaM 1 12 ， 可知 ： A 是線性有界算子。 證明：取 ?? nn ttx ? ， 那么? ? 1max1,0 ?? ? ntn tx， 但 是 nntTx nn ??1，所以 T 是線性 無界 算子 。下證 T 是有界的。且 1?T , ??1 特別地取： ? ? ????????? lx ,0,0,0,10 ,則 10 ?x , 1s u p001 ???? ? yTxTxT x,從而有 : 1?T ??2 由 ??1 、 ??2 可知 ： .1?T 線性算子空間 命題 線性算子空間： 如果 21 XX， 是同一數(shù)域 K 上的線性賦范空間， 那么 把 21 XX? 的一切線性算子構(gòu)成的集合稱為 21 XX ? 的線性算子空間，記為 ? ?21 XX? 即： ? ?21 XX ? ? ?的線性算子是 21 XXTT ?? 。 命題 算子范數(shù)：如果 T 是線性賦范空間 X 到線性賦范空間 Y 的有界線性算 子， 那么 稱xTxT x Xx 01 sup???為算子 T 的范數(shù)。 例 1： 1TT ? . 證明： ??1 對 Xx?? ,因為 :?????????? ??? XxxxTxT ,0:s up1,所以： 1TxTx? 從而 有： xTTx 1? ,而 ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf 所以 。 證明：對 1??r ，由 TrT ? ， 可取 ? ?xSy? ，使得 rTTy? ， 令TyTyx?，從而有 : TTx? 。 定理 算子圖像： 如果 21 XX， 是 線性賦范空間， ? ? 21: XXTDT ?? 是線性算 子，如果 T 的圖像 ? ? ? ? ? ?? ?TDxTxyyxTG ??? , 是乘積空間 21 XX? 中的閉集， 那么稱 T 是閉線性 算子（簡稱 為 閉算子）。 證明：必要性： ? ? ? ?yxTxx nn , ?? 當 ? ? ? ?yxTxx nn , ? 時，明顯的有： yTxxx nn ?? , ，由條件知 ? ?TDxn?? 且 yxT ? ，那么有 ： ? ? ? ?Txxyx , ? ? ??TG ，即 ??TG 中每一收斂點斂的極限均存在 ??TG 中，從而有 ??TG 是閉集即 T 是閉算子。 有界性與閉性 對于線性算子已有三個重要的概念：連續(xù)性、有界性、閉性，我們已經(jīng)知道對于線性算子的連續(xù)性和有界性是等價的，因此對于線性算子實際上只有兩個不同的概念即有界性與閉性。特別地：當 ??TD ? 1X 時， T 是閉線性算子。由于： T 是有界的，則 TxTxnn ???lim 。由 引理 知 ：T 是閉線性算子。 證明：顯然知 ： T 是無界算子。 17 參考文獻 [1] 胡適耕 . 泛函分析 [M]. 北京：高等教育出版社， 2022. [2] 夏道行等 . 實變函數(shù)論與泛函分析 [M]. 北京：人民教育出版社， 1979. [3] 張恭慶等 . 泛函分析講義（上冊） [M]. 北京：北京大學出版社， 1987. [4] 李廣民 ,劉三陽 . 應用泛函分析原理 [M]. 陜西：西安電子科技大學出版社， 2022 [5] 李曉愛 . 線性賦范空間上泛函列的一致連續(xù)性定理 [J]. 延安大學學報 (自然科 學版 )： 2022： 01:910. [6] 李宗鐸 . 線性賦范空間中幾個概念的探討 [J]. 岳陽大學學報： 1989： 02:5557. [7] 王艷博 ,張云峰 . 關(guān)于泛函分析中定理的推廣 [J]. 哈爾濱理工大學學報： 1998： 01:8184. [8]鄭維行 ,王聲望 .實變函數(shù)與泛函分析概要 [M]. 北京：人民教育出版社 ， 1980. [9]劉培德 .泛函分析基礎 [M].北京：科學出版社， 2022. [10]葉懷安 .實變與泛函 [M]. 安徽：中國科學技術(shù)大學出版社， 1991. [11]趙煥光 .泛函分析入門 [M].四川：四川大學出版社， 2022. 18 致 謝 非常感謝何瑞強老師在我大學階段尤其畢業(yè)設計階段給我的指導，從最初的論文選題，到資料收集，到問題的設計，到提綱的擬定，到論文定稿，他給了我耐心的指導和很多的鼓勵。 其次，我要感謝所有任課老師在這四年來給自己悉心教導，是他們教給我專業(yè)知識，教導我如何學習，教會我如何做人。 最后，我要感謝我的家人，他們的鼓勵與關(guān)懷給我的生活提供了無窮的動力與源泉，促使我不