【正文】 b? ? ? ? AB BA?? , ABOAOB ?? 數 乘 向 量 1. a? 是一個向量 ,滿足 :| | | || |aa??? 2.? 0 時 , aa?與 同向 。 ? =0時 , 0a?? . 向 量 的 數 量 積 ab? 是一個數 1. 00ab??或 時， 0ab?? . 2. 00| || | co s( , )aba b a b a b???且 時 ， 1 2 1 2a b x x y y? ? ? a b b a? ? ? ( ) ( ) ( )a b a b a b? ? ?? ? ? ? ? ()a b c a c b c? ? ? ? ? ? 2 2 2 2| | | |=a a a x y??即 | | | || |a b a b?? 、 公式 (1)平面向量基本定理 e1， e2 是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數 λ 1， λ 2，使 a＝ λ 1e1＋ λ 2e2. (2)兩個向量平行的充要條件 a∥ b? a＝ λ b(b≠ 0)? x1y2－ x2y1＝ O. (3)兩個向量垂直的充要條件 a⊥ b? a178。 ab=1/2ac178。 sinA ⑤ S△ = ? ?? ?? ?cPbPaPP ??? [海倫公式 ] ⑥ S△ =1/2（ b+ca） ra[如下圖 ]=1/2（ b+ac） rc=1/2（ a+cb） rb [注 ]：到三角形三邊的距離相等的點有 4 個，一個是內心，其余 3 個是旁心 . 如圖： 圖1 圖 2 圖 3 圖 4 圖 1 中的 I 為 S△ ABC的內心， S△ =Pr 圖 2 中的 I 為 S△ ABC的一個旁心， S△ =1/2（ b+ca） ra 附：三角形的五個“心”； 重心：三角形三條中線交點 . 外心：三角形三邊 垂直平分線相交于一點 . ABCOabcIAB CDEFIAB CDEFr ar ar abcaabcACB NE F【 狀元資料吧 】 [讀經 品 資料，上名牌大學 ] 【狀元資料為學子助力 !】 內心：三角形三內角的平分線相交于一點 . 垂心：三角形三邊上的高相交于一點 . 旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點 . ? 已知⊙ O 是△ ABC 的內切圓，若 BC=a， AC=b， AB=c [注： s 為△ABC 的半周長 ,即2 cba ??] 則： ① AE= as? =1/2（ b+ca） ② BN= bs? =1/2（ a+cb） ③ FC= cs? =1/2（ a+bc） 綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半 周長減去對邊（如圖 4） . 特例：已知在 Rt△ ABC， c 為斜邊，則內切圓半徑 r=cba abcba ????? 2（如圖 3） . ? 在△ ABC 中，有下列等式成立 CBACBA ta nta nta nta nta nta n ??? . 證明：因為 ,CBA ??? ? 所以 ? ? ? ?CBA ??? ?tantan ，所以 CBA BA ta nta nta n1 ta nta n ??? ?， ?結論！ ? 在△ ABC 中， D 是 BC 上任意一點，則 DCBDBC BCABBDACAD ???? 222. 證明：在△ ABCD 中，由余弦定理，有 ?BBDABBDABAD c o s2222 ????? ① 在△ ABC 中，由余弦定理有 ?BCAB ACBCABB ? ??? 2c os 222②，②代入①，化簡 可得， DCBDBC BCABBDACAD ???? 222（斯德瓦定理） ① 若 AD 是 BC 上的中線， 222 2221 acbm a ???； ② 若 AD 是∠ A 的平分線， ? ?appbccbta ???? 2，其中 p 為半周長； ③ 若 AD 是 BC 上的高， ? ?? ?? ?cpbpappah a ???? 2，其中 p 為半周長 . ? △ ABC 的判定： DACB圖 5【 狀元資料吧 】 [讀經 品 資料，上名牌大學 ] 【狀元資料為學子助力 !】 ??? 222 bac △ ABC 為直角△ ? ∠ A + ∠ B =2? 2c ＜ ?? 22 ba △ ABC 為鈍角△ ? ∠ A + ∠ B＜ 2? 2c ＞ ?? 22 ba △ ABC 為銳角△ ? ∠ A + ∠ B＞ 2? 附：證明：ab cbaC 2cos 222 ???，得在鈍角△ ABC 中， 222222 ,00c o s cbacbaC ??? ????? ? 平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和 . )(2 2222 bababa ????? 空間向量 1．空間向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 奎屯王新敞 新疆 注：?空間的一個平移就是一個向量 奎屯王新敞 新疆 ?向量一般用有向線段表示 奎屯王新敞 新疆同向等長的有向線段表示同一或相等的向量 奎屯王新敞 新疆 ?空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示 奎屯王新敞 新疆 2．空間向 量的運算 定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下 baABOAOB ?? ???? baOBOABA ?? ???? )( RaOP ?? ??? 運算律：?加法交換律： abba ???? ??? ?加法結合律： )()( cbacba ?????? ????? 【 狀元資料吧 】 [讀經 品 資料，上名牌大學 ] 【狀元資料為學子助力 !】 ?數乘分配律： baba ???? ??? ??? )( 3 奎屯王新敞 新疆共線向量 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量． a? 平行于 b? 記作 ba ??// ． 當我們說向量 a? 、 b? 共線（或 a? //b? ）時，表示 a? 、 b? 的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線． 4．共線向量定理及其推論： 共線向量定理： 空間任意兩個向量 a? 、 b? （ b? ≠ 0? ）， a? //b? 的充要條件是存在實數 λ，使 a? ＝ λb? . 推論：如果 l 為經 過已知點 A 且平行于已知非零向量 a? 的直線，那么對于任意一點 O，點 P 在直線 l 上的充要條件是存在實數 t 滿足等式 tOAOP ?? a? ． 其中向量 a? 叫做直線 l 的方向向量 . 5．向量與平面平行： 已知平面 ? 和向量 a ，作 OA a? ，如果直線 OA 平行于 ? 或在 ? 內，那么我們說向量 a 平行于平面 ? ，記作： //a? ． 通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 奎屯王新敞 新疆 說明：空間任意的兩向量都是共面的 奎屯王新敞 新疆 6．共面向量定理： 如果兩個向量 ,ab不共線， p 與向量 ,ab共面的充要條件是存在實數,xy使 p xa yb?? 奎屯王新敞 新疆 推論：空間一點 P 位于平面 MAB 內的充分必要條件是存在有序實數對 ,xy，使 MP xMA yMB??或對空間 任一點 O ，有 O P O M x M A y M B? ? ? ① ① 式叫做平面 MAB 的向量表達式 奎屯王新敞 新疆 【 狀元資料吧 】 [讀經 品 資料，上名牌大學 ] 【狀元資料為學子助力 !】 7 奎屯王新敞 新疆空間向量基本定理： 如果三個向量 ,abc 不共面，那么對空間任一向量 p ，存在一個唯一的有序實數組 ,xyz ，使 p xa yb zc? ? ? 奎屯王新敞 新疆 推論：設 ,OABC 是不共面的四點，則對空間任一點 P ，都存在唯一的三個 有序實數 ,xyz ，使 O P xO A yO B zO C? ? ?奎屯王新敞 新疆 8 奎屯王新敞 新疆空間向量的夾角及其表示： 已知兩非零向量 ,ab，在空間任取一點 O ，作 ,OA a OB b??，則 AOB? 叫做向量 a 與 b 的夾角，記作 ,ab??；且規(guī)定 0,ab ??? ?? ，顯然有,a b b a? ??? ?；若 , 2ab ?? ?? ，則稱 a 與 b 互相垂直，記作： ab? . 9．向量的模： 設 OA a? ，則有向線段 OA 的長度叫做向量 a 的長度或模，記作： ||a . 10．向量的數量積 ： ab??| | | | cos ,a b a b? ? ? ?． 已知向量 AB a? 和軸 l ， e 是 l 上與 l 同方向的單位向量，作點 A 在 l 上的射影 A? ，作點 B 在 l 上的射影 B? ，則 AB??叫做向量 AB 在軸 l 上或在 e 上的正射影 . 可以證明 AB??的長度 | | | | c os , | |A B A B a e a e?? ? ? ? ? ?． 11．空間向量數量積的性質： （ 1） | | c os ,a e a a e? ? ? ?．（ 2） 0a b a b? ? ? ?．（ 3） 2||a a a?? ． 12．空間向量數量積運算律： （ 1） ( ) ( ) ( )a b a b a b? ? ?? ? ? ? ?．（ 2） a b b a? ? ? （交換律）（ 3） ()a b c a b a c? ? ? ? ? ?【 狀元資料吧 】 [讀經 品 資料，上名牌大學 ] 【狀元資料為學子助力 !】 （分配律）． 空間向量的坐標運算 一．知識回顧： （ 1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的 x 軸是橫軸（對應為橫坐標），y 軸是縱軸（對應為縱軸）， z 軸是豎軸（對應為豎坐標） . ① 令 a =(a1,a2,a3), ),( 321 bbbb? ，則 ),( 332211 babababa ????? ))(,( 321 Raaaa ?? ????? 332211 babababa ???? a ∥ )(, 332211 Rbababab ????? ????332211 bababa ??? 0332211 ????? babababa 222 321 aaaaaa ????? ( 用 到 常 用 的向 量 模 與向 量 之 間的 轉 化 ：aaaaaa ?????2 ) 232221232221 332211||||,c os bbbaaababababa baba????????????? ?? ???? ② 空間兩點的距離公式： 212212212 )()()( zzyyxxd ?????? . （ 2）法向量：若向量 a 所在直線垂直于平面 ? ，則稱這個向量垂直于平面 ? ，記作 ??a ，如果 ??a 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量 . （ 3）用向量的常用方法： ① 利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設 n 是平面 ? 的法向量，AB 是平面 ? 的一條射線，其中 ??A ，則點 B 到平面 ? 的距離為|| || nnAB?. ② 利