微分幾何練習(xí)題庫及答案-閱讀頁
2025-07-09 23:00本頁面
【正文】 當(dāng)時(shí)的切線方程為17．設(shè)有曲線，當(dāng)時(shí)的切線方程為第三章18．設(shè)為曲面的參數(shù)表示，如果，則稱參數(shù)曲面是正則的；如果是 一一的 ，則稱參數(shù)曲面是簡(jiǎn)單的．19．如果曲線族和曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為 正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng) ．(坐標(biāo)網(wǎng)。易。（曲線的概念；易；4分鐘）Ａ ， Ｂ ，Ｃ ， Ｄ ， Ｅ ，79．下列曲線中是正則曲線的有（ABCDE）。[解]設(shè)是初等區(qū)域，如果存在一個(gè)連續(xù)一一映射使得，則稱是一張曲面，而叫的參數(shù)表示．89．坐標(biāo)曲線。【解】稱二次型（其中，）為曲面的第一基本形式．而、叫曲面的第一類基本量．91．內(nèi)蘊(yùn)量?！窘狻糠Q二次型（其中，）為曲面的第二基本形式．而，為曲面的第二類基本量．93．【解】若在點(diǎn)有，則稱點(diǎn)為曲面的橢圓點(diǎn)．94．法曲率?！窘狻渴狗ㄇ蔬_(dá)到極值的方向叫曲面在該點(diǎn)的主方向，而主方向的法曲率叫該點(diǎn)的主曲率．96．高斯曲率?！窘狻科骄实那娼袠O小曲面．五、計(jì)算題第二章98．求旋輪線的一段的弧長(zhǎng)．（弧長(zhǎng)；中；5分鐘）【解】旋輪線的切向量為，則它的一段的弧長(zhǎng)為：．99．求曲線在原點(diǎn)的切向量、主法向量、副法向量．（基本向量；中；10分鐘【解】由題意知 ， ，在原點(diǎn)時(shí)有 。100．圓柱螺線為。第三章101．求正螺面的切平面和法線方程．（切平面、法線；中；5分鐘）【解】，切平面方程為法線方程為．102．求球面上任一點(diǎn)處的切平面與法線方程． 【解】 ， ， 球面上任意點(diǎn)的切平面方程為即，法線方程為即．103．求旋轉(zhuǎn)拋物面的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分鐘）【解】參數(shù)表示為，， ，．104．求正螺面的第一基本形式．（第一基本形式；中；5分鐘）【解】，．105．計(jì)算正螺面的第一、第二基本量．（第一基本形式、第二基本形式；中；15分鐘）【解】，，，．106．計(jì)算拋物面的高斯曲率和平均曲率．（高斯曲率、平均曲率；中；15分鐘）【解】設(shè)拋物面的參數(shù)表示為，則，，， ， ， ， ，．107．計(jì)算正螺面的高斯曲率（高斯曲率；中；15分鐘）【解】直接計(jì)算知，．第四章108．求位于正螺面上的圓柱螺線（=常數(shù)）的測(cè)地曲率．（測(cè)地曲率、劉維爾定理；中；15分）【解】因?yàn)檎菝娴牡谝换拘问綖?，螺旋線是正螺面的v曲線，由得．由正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線的測(cè)地曲率得．六、證明題第二章109．證明曲線的切向量與曲線的位置向量成定角．（切向量、夾角；較易；5分鐘）【證】對(duì)曲線上任意一點(diǎn)，曲線的位置向量為，該點(diǎn)切線的切向量為：，則有：，故夾角為。則 。于是該曲線是直線．111．證明圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交．（主法線、夾角；中；10分鐘）【證明】由題意有 。另一方面軸的方向向量為，而，故，即主法線與軸垂直．112．證明曲線的所有法平面皆通過坐標(biāo)原點(diǎn)．（法平面；較易；5分鐘）【證明】由題意可得，則任意點(diǎn)的法平面為將點(diǎn)（0,0,0）代入上述方程有左邊右邊，故結(jié)論成立．113．證明曲線為平面曲線，并建立曲線所在平面的方程
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