【正文】 題第三章88．曲面。【解】使法曲率達(dá)到極值的方向叫曲面在該點(diǎn)的主方向，而主方向的法曲率叫該點(diǎn)的主曲率．96．高斯曲率。另一方面軸的方向向量為，而，故，即主法線(xiàn)與軸垂直．112．證明曲線(xiàn)的所有法平面皆通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．（法平面；較易；5分鐘）【證明】由題意可得，則任意點(diǎn)的法平面為將點(diǎn)（0,0,0）代入上述方程有左邊右邊，故結(jié)論成立．113．證明曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)，并建立曲線(xiàn)所在平面的方程?！窘狻糠Q(chēng)二次型（其中，）為曲面的第一基本形式．而、叫曲面的第一類(lèi)基本量．91．內(nèi)蘊(yùn)量。【解】由曲面的第一類(lèi)基本量所決定的量叫曲面的內(nèi)蘊(yùn)量．92．第二基本形式。（撓率；中；10分鐘）【證明】設(shè)，整理比較兩邊同次項(xiàng)可得，則有，即曲線(xiàn)為直線(xiàn)，且有．第三章114．求證正螺面上的坐標(biāo)曲線(xiàn)（即曲線(xiàn)族曲線(xiàn)族）互相垂直．（坐標(biāo)曲線(xiàn)、夾角；5分鐘）【證明】設(shè)正螺面的參數(shù)表示是，則 ，故正螺面上的坐標(biāo)曲線(xiàn)互相垂直．115．證明馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)．（點(diǎn)的分類(lèi)、第二基本量；中；15分鐘）【證明】參數(shù)表示為，則，，，故馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)．116．如果曲面上某點(diǎn)的第一與第二基本形式成比例，即與方向無(wú)關(guān)，則稱(chēng)該點(diǎn)是曲面的臍點(diǎn)；如果曲面上所有點(diǎn)都是臍點(diǎn)，則稱(chēng)曲面是全臍的．試證球面是全臍的．（臍點(diǎn)；難；15分鐘）【證明】設(shè)球面的參數(shù)表示為，則，，，，，故球面是全臍的．117．證明平面是全臍的．（臍點(diǎn)；易；5分鐘）【證明】設(shè)平面的參數(shù)表示為，則，，，故平面是全臍的．118．設(shè)有曲面，試證曲面的第二基本形式與函數(shù)的二階微分成比例．（第二基本形式；較難；10分鐘）【證明】設(shè)曲面的參數(shù)表示為，則，，，．119．證明曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)．（點(diǎn)的分類(lèi)、第二基本量；中；15分鐘）【證明】記曲面的參數(shù)表示為，則， ， ， ， ，， ， 曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)．120．求證正螺面是極小曲面．（平均曲率；中；15分鐘）【證明】，，，故正螺面是極小曲面．121．證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn)．（點(diǎn)的分類(lèi)、平均曲率；中；5分鐘）【證明】， ， 當(dāng)時(shí)， 極小曲面的點(diǎn)都是平點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，極小曲面的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)．第四章122．證明若曲面上有兩族測(cè)地線(xiàn)交于定角，則曲面的高斯曲率為零．（高斯曲率；難；10分鐘）【證明】在每族測(cè)地線(xiàn)中任取兩條，圍成曲面上的曲邊四邊形．根據(jù)已知條件，曲邊四邊形的外角和為由高斯波涅公式有，．若在曲面上的某點(diǎn)處，不妨設(shè)，則在點(diǎn)的鄰近，從而對(duì)于圍繞點(diǎn)的充分小的曲邊四邊形有，得出矛盾，所以，即曲面為可展曲面．123．求證半徑為的球面上測(cè)地三角之和為其中為測(cè)地三角形的面積．（高斯波涅定理；難；【證明】由高斯波涅公式有．對(duì)于半徑為的球面有，所以，其中為測(cè)地三角形的面積．124．若曲面的高斯曲率處處小于零，則曲面上不存在圍成單連通區(qū)域的光滑的閉測(cè)地線(xiàn)．【證明】設(shè)若存在所述閉測(cè)地線(xiàn)，它所圍成的曲面部分為，則由高斯波涅公式．因?yàn)?，則，又后兩項(xiàng)均為0，得出矛盾．所以不存在所述測(cè)地線(xiàn)．19。【解】給定曲面上一點(diǎn)處的一個(gè)切向量，則點(diǎn)沿方向的法曲率定