【正文】 題第三章88．曲面。【解】使法曲率達到極值的方向叫曲面在該點的主方向，而主方向的法曲率叫該點的主曲率．96．高斯曲率。另一方面軸的方向向量為，而，故，即主法線與軸垂直．112．證明曲線的所有法平面皆通過坐標原點．（法平面；較易；5分鐘）【證明】由題意可得，則任意點的法平面為將點（0,0,0）代入上述方程有左邊右邊，故結論成立．113．證明曲線為平面曲線，并建立曲線所在平面的方程?！窘狻糠Q二次型（其中，）為曲面的第一基本形式．而、叫曲面的第一類基本量．91．內蘊量?！窘狻坑汕娴牡谝活惢玖克鶝Q定的量叫曲面的內蘊量．92．第二基本形式。（撓率；中；10分鐘）【證明】設，整理比較兩邊同次項可得，則有，即曲線為直線，且有．第三章114．求證正螺面上的坐標曲線（即曲線族曲線族）互相垂直．（坐標曲線、夾角；5分鐘）【證明】設正螺面的參數(shù)表示是，則 ，故正螺面上的坐標曲線互相垂直．115．證明馬鞍面上所有點都是雙曲點．（點的分類、第二基本量；中；15分鐘）【證明】參數(shù)表示為，則，，，故馬鞍面上所有點都是雙曲點．116．如果曲面上某點的第一與第二基本形式成比例，即與方向無關，則稱該點是曲面的臍點；如果曲面上所有點都是臍點，則稱曲面是全臍的．試證球面是全臍的．（臍點；難；15分鐘）【證明】設球面的參數(shù)表示為，則，，，，，故球面是全臍的．117．證明平面是全臍的．（臍點；易；5分鐘）【證明】設平面的參數(shù)表示為，則，，，故平面是全臍的．118．設有曲面，試證曲面的第二基本形式與函數(shù)的二階微分成比例．（第二基本形式；較難；10分鐘）【證明】設曲面的參數(shù)表示為，則，，，．119．證明曲面的所有點為拋物點．（點的分類、第二基本量；中；15分鐘）【證明】記曲面的參數(shù)表示為，則， ， ， ， ，， ， 曲面的所有點為拋物點．120．求證正螺面是極小曲面．（平均曲率；中；15分鐘）【證明】，，，故正螺面是極小曲面．121．證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點．（點的分類、平均曲率；中；5分鐘）【證明】， ， 當時， 極小曲面的點都是平點；當時，極小曲面的點都是雙曲點．第四章122．證明若曲面上有兩族測地線交于定角，則曲面的高斯曲率為零．（高斯曲率；難；10分鐘）【證明】在每族測地線中任取兩條，圍成曲面上的曲邊四邊形．根據已知條件，曲邊四邊形的外角和為由高斯波涅公式有，．若在曲面上的某點處，不妨設，則在點的鄰近，從而對于圍繞點的充分小的曲邊四邊形有，得出矛盾，所以，即曲面為可展曲面．123．求證半徑為的球面上測地三角之和為其中為測地三角形的面積．（高斯波涅定理；難；【證明】由高斯波涅公式有．對于半徑為的球面有，所以，其中為測地三角形的面積．124．若曲面的高斯曲率處處小于零，則曲面上不存在圍成單連通區(qū)域的光滑的閉測地線．【證明】設若存在所述閉測地線，它所圍成的曲面部分為，則由高斯波涅公式．因為，則，又后兩項均為0，得出矛盾．所以不存在所述測地線．19。【解】給定曲面上一點處的一個切向量，則點沿方向的法曲率定