【正文】 . ,設(shè) L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因 L是曲率線,所以沿L有,又沿L 有?=常數(shù),求微商得,所以,即 證法三： ，所以高斯曲率 ，所以0 ，所以曲面上的點是平點或雙曲點。 d= d=0，于是若=0，則L = M = N = 0 ，曲面上的點是平點，若 0,則曲面上的點是雙曲點。8. 求曲面的漸近線.解 曲面的向量表示為,..漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=xdy, 即.9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線，它的主法線曲面為，在曲線上，t = 0 , ,曲面的單位法向量，即，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為 ={x,y, f(x)+g(y)},x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標曲線。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u + v = 0與u – v = 0的交點為u = 0, v = 0,交點處的第一類基本量為。4．求橢圓柱面在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面 。5．證明曲面的切平面和三個坐標平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。uvV=1u=avu=avo展開并化簡得E(EG)=G(EG),而EG0，消去EG得坐標曲線的二等分角線的微分方程為E=G.9．設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求曲面上三條曲線u = v, v =1相交所成的三角形的面積。=0,則有=0,或所以曲面上存在兩族漸近線。=0的充要條件為d// d，即（C）是的曲率線。d=0 ,而（C）是的一條曲率線，因此d與（C）的切向量d共線，則與 正交，即d,則主曲率之比為常數(shù).證 由 得 ,即漸進方向為,=+=2 為常數(shù),所以為為常數(shù),即為常數(shù).20. 求證 正螺面的平均曲率為零.證 由第3題或第16題可知.21. 求雙曲面z=axy在點x=y=0的平均曲率和高斯曲率.證 在點x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=, K ==..證法一： 由H==0有==0或=0 .若==0,則沿任意方向,=0 ,即對于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,對應(yīng)的點為平點.若=0,則K=0 ,即LNM0,對應(yīng)的點為雙曲點.證法二：取曲率網(wǎng)為坐標網(wǎng)，則F = M = 0 ,因為極小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E 0 ,G 0 ,所以LN 0 。而u族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊量，即等距不變量，而求等距不變量只須知道曲