微分幾何第四版習(xí)題答案梅向明(參考版)
2025-06-27 23:00本頁面
【正文】 說明球面像上的點(u,v)與區(qū)域D內(nèi)的點一一對應(yīng)，因此曲面(S) 上的點與球面像上的點一一對應(yīng)。28．證明如果曲面上沒有拋物點，則它上面的點和球面上的點是一一對應(yīng)的。27．證明在曲面(S)上的一個雙曲點P處，若兩條漸近線都不是直線，則它們之中，一條在點P的撓率是,另一條在點P的撓率是，其中K是(S)在P點的高斯曲率。 d= d=0，于是+=常數(shù)，這等價于d(26．兩個曲面、交于一條曲線（C），而且（C）是的一條曲率線，則（C）也是的一條曲率線的充要條件為、沿著（C）相交成固定角。試證：旋轉(zhuǎn)曲面上存在等溫網(wǎng)。 解 E =, F= 0 , G=, L = a, M = 0, N = cos(b+acos), LN =a cos(b+acos) , 由于b a 0 , b+acos 0,所以LN 的符號與cos的符號一致,當(dāng)0≤和 2時, LN 0 ,曲面上的點為橢圓點，即圓環(huán)面外側(cè)的點為橢圓點；當(dāng)，曲面上的點為雙曲點, 即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點為雙曲點；當(dāng)=或 時，LN =0，為拋物點，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點為拋物點。取曲面上的兩族漸近線為坐標網(wǎng)，則L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的點是平點，若 ，則 ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。 證法三： ，所以高斯曲率 ，所以0 ，所以曲面上的點是平點或雙曲點。若=0，則L = M = N = 0 ，曲面上的點是平點，若 0,則曲面上的點是雙曲點。在（0，0）點,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a , = 2 a .18. 證明在曲面上的給定點處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證 曲面上的給定點處兩主曲率分別為 、任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為， ，即為常數(shù)。 所以主曲率為 。 16．求正螺面的主曲率。15．如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。=0 ，若=0，則問題得證；否則=0 .若=0, 則L是平面曲線；若={u,u,bv}上的曲率線.解，={0,0,0}，={ucosv,usinv,0}，={sinv,cosv,0},， L=0, M= , N=0,曲率線的微分方程為:,即,積分得兩族曲率線方程:. =axy上的曲率線.解 N=0 . 由=0得,積分得兩族曲率線為..解 M=,N=:: . ,設(shè) L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因 L是曲率線,所以沿L有,又沿L 有?=常數(shù),求微商得,所以,即8. 求曲面的漸近線.解 曲面的向量表示為,..漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=xdy, 即.9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量
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