微分幾何第四版習題答案梅向明-全文預覽
【正文】 L= 0, M = , N = 0 .所以有EN 2FM + GL= 0 .4. 求出拋物面在(0,0)點沿方向(dx:dy)的法曲率.解 ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率. 5. 已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0d1),求與(S)交線的曲率與法曲率.解 設(shè)平面與(S) 的交線為(C), 則(C)的半徑為,即(C)的曲率為,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于,所以(C)的法曲率為=1 .6. 利用法曲率公式,證明在球面上對于任何曲紋坐標第一、第二類基本量成比例。10．求球面=的面積。5．求曲面z = axy上坐標曲線x = x ,y =的交角.解 曲面的向量表示為={x,y,axy}, 坐標曲線x = x的向量表示為={ x,y,axy } ，其切向量={0，1，ax}；坐標曲線y =的向量表示為={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，設(shè)兩曲線x = x與y =的夾角為，則有cos = 6. 求u曲線和v曲線的正交軌線的方程.解 對于u曲線dv = 0,設(shè)其正交軌線的方向為δu:δv ,則有Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,將dv =0代入并消去du得u曲線的正交軌線的微分方程為Eδu + Fδv = 0 .同理可得v曲線的正交軌線的微分方程為Fδu + Gδv = 0 .7. 在曲面上一點,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R＝０，確定兩個切方向（du ：dv）和（δu ：δv），證明這兩個方向垂直的充要條件是ER2FQ + GP=0.證明 因為du,dv不同時為零，假定dv0，則所給二次方程可寫成為P+ 2Q+ R=0 ,設(shè)其二根, 則=，+=……①又根據(jù)二方向垂直的條件知E + F(+)+ G = 0 ……②將①代入②則得 ER 2FQ + GP = 0 .8. 證明曲面的坐標曲線的二等分角線的微分方程為E=G.證 用分別用δ、d表示沿u－曲線，v－曲線及其二等分角線的微分符號，即沿u－曲線δu０，δv＝０，沿v－曲線u＝０，v０．沿二等分角軌線方向為du:dv ,根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得，即。4．設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求它上面兩條曲線u + v = 0 ,u–v = 0的交角。２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并證明坐標曲線互相垂直。與三坐標軸的交點分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。所以切平面方程為：，即x bcos + y asin － a b = 0此方程與t無關(guān)，對于的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而的每一數(shù)值對應一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面 。3．求球面=上任意點的切平面和法線方程。微分幾何主要習題解答167。 v曲線為=｛a（+v）, b（
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