【正文】 能梯度壓電板中的傳播問題。Pin Lu,H, P等利用Strohlike方法計(jì)算了四邊簡支功能梯度壓電板問題。黃小林，沈惠申基于Reddy高階剪切變形理論和廣義Karman型方程，求得了熱環(huán)境下帶壓電層的功能梯度復(fù)合材料混合層合板的自由振動及動力響應(yīng)的解析解[43]。伍曉紅，沈亞鵬基于三維彈性理論和壓電理論，用冪級數(shù)展開的方法求解了四邊簡支的有限長矩形FGM壓電板的自由振動頻率[16]。朱昊文，李堯臣，楊昌錦利用變分原理和功能梯度壓電材料的本構(gòu)關(guān)系、幾何關(guān)系、板的邊界條件等，推導(dǎo)出功能梯度板的有限元方程。給出數(shù)值算例，假設(shè)梯度函數(shù)為指數(shù)形式，驗(yàn)證功能梯度壓電材料懸臂梁簡化理論，分析不同的梯度變化對功能梯度壓電梁靜力響應(yīng)的影響。由于以往針對均勻材料建立的經(jīng)典梁、板、殼結(jié)構(gòu)理論并不能完全適用于功能梯度材料，因此必須發(fā)展針對功能梯度材料特點(diǎn)的梁、板、殼結(jié)構(gòu)分析方法，尋找功能梯度材料梁、板、殼結(jié)構(gòu)的解析解、半解析解以及簡化理論解，下面將分別闡述。解析解的價(jià)值在于它們能為其他理論模型或計(jì)算方案提供假設(shè)的依據(jù)和驗(yàn)證的考題。稍后Sanka等給出了考慮溫度效應(yīng)的一個(gè)精確解。對于沿厚度非指數(shù)變化的情況，還沒有彈性力學(xué)精確解的報(bào)道。 最近，仲政等和丁皓江等系統(tǒng)發(fā)展了考慮力、熱、電、磁等作用的各向異性功能梯度材料直梁二維問題的廣義應(yīng)力函數(shù)解法，獲得的解析解適用于各材料參數(shù)沿厚度方向的任意梯度分布情況，可在SaintVenant意義上考慮簡支、固支等不同的位移約束邊界條件和集中力、彎矩等端部載荷作用。Huang等進(jìn)一步研究了功能梯度壓電執(zhí)行器的響應(yīng)特性，給出了解析表達(dá)式并與一維梁理論、有限元和實(shí)驗(yàn)結(jié)果等進(jìn)行了比較，說明了解析解的有效性及一維梁理論解的不足之處。智能功能梯度結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性近年得到了很多研究者的關(guān)注。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，由于界面的弱化，使得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜動力特性發(fā)生了一定程度的改變，從而可能導(dǎo)致作動器或者傳感器性能的變化，必須加以重視[6]。最近，他們又將工作進(jìn)一步推廣到功能梯度壓電材料，詳細(xì)研究了非均勻參數(shù)對SaintVenant解的影響。Horgan等假設(shè)彈性模量沿徑向按冪律分布，考察了功能梯度旋轉(zhuǎn)圓盤的一維軸對稱變形問題。對于橫觀各向同性功能梯度圓板的純彎曲問題，首次給出了解析形式的彈性力學(xué)解。Li等通過在位移表達(dá)式中引入適當(dāng)?shù)膶?shù)函數(shù)項(xiàng)，獲得了內(nèi)外圓周邊界條件任意組合時(shí)在均布載荷作用下橫觀各向同性功能梯度圓環(huán)板的解析解，該解可以考慮材料常數(shù)沿厚度方向的任意分布。 針對沿厚度方向材料常數(shù)任意變化的情形，Kaprielian等及Mian等提出了一種非常有效的求解方法，即通過假設(shè)位移的適當(dāng)形式將三維問題化為二維問題以簡化求解過程。但他們的研究僅局限于各向同性材料，且板的上下表面沒有載荷作用。對于對邊簡支矩形板的彎曲問題，通過在級數(shù)項(xiàng)外引入適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式項(xiàng)，一方面簡化了求解，另一方面也加快了解的收斂[37]。Chen等通過假設(shè)徑向位移和軸向位移的適當(dāng)形式，獲得了勻速旋轉(zhuǎn)的橫觀各向同性功能梯度圓板和圓環(huán)板問題的解析解，該解可考慮材料參數(shù)沿厚度方向的任意分布情形[14]。Zhang等對于任意的材料梯度分布形式，利用Haar小波級數(shù)展開法，得到四邊簡支功能梯度材料矩形板和功能梯度壓電材料矩形板彎曲問題的三維Haar小波級數(shù)解。 高立名等采用分層法、Frobenius法和同倫分析法研究功能梯度平板表面波的傳播問題，發(fā)現(xiàn)表面波的兩種變化模式在功能梯度材料中的效應(yīng)是不同的。同倫法可以求得包括Frobenius解的一般解，而且收斂速度和精度可以通過選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)來調(diào)整。針對功能梯度材料厚板中波的傳播問題，Chen等提出了回傳射線矩陣分析方法，采用均勻?qū)雍夏Ｐ蛯⒏飨蛲怨δ芴荻炔牧习鍎澐殖扇舾蓪?，在每層建立互反的兩個(gè)局部坐標(biāo)系并獲得層內(nèi)的相位關(guān)系，根據(jù)界面處連續(xù)條件獲得散射關(guān)系，最終建立體系的回傳矩陣整體代數(shù)方程。從上述最一般的理論出發(fā)，文獻(xiàn)對非均勻彈性桿、各向異性功能梯度板(包括層合板)和功能梯度壓電薄膜及其體波諧振器內(nèi)的波傳播問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究[13]。為了克服這一限制，范家讓提出用疊加原理和廣義函數(shù)的Fourier級數(shù)展開來求解具有固支和自由邊界的板殼結(jié)構(gòu)靜動力響應(yīng)。該方法拓寬了彈性力學(xué)傳統(tǒng)狀態(tài)空問法的求解范圍，可以用于分析層合和厚度方向功能梯度梁、板、殼結(jié)構(gòu)靜動力問題。在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)微分求積法中點(diǎn)數(shù)取值較大時(shí)，會產(chǎn)生一定的數(shù)值不穩(wěn)定問題，為此Li等采用Nagem和Williams針對空間結(jié)構(gòu)分析提出的耦合節(jié)點(diǎn)矩陣法，進(jìn)行功能梯度梁的熱應(yīng)力分析和多跨板的振動分析，克服了數(shù)值不穩(wěn)定的現(xiàn)象[6]。利用該方法，研究了功能梯度圓板、圓環(huán)板、扇形板在簡支、固支、自由等各種邊界條件下的靜力響應(yīng)與自由振動問題。 曹志遠(yuǎn)等人采用經(jīng)典板殼理論，獲得了各類功能梯度矩形板固有頻率與振型的解析解和各類功能梯度復(fù)合材料圓柱殼固有頻率的解析解。在各種高階板理論中，Soldatos等提出的含有隨厚度坐標(biāo)變化的翹曲函數(shù)理論獨(dú)具優(yōu)勢。 Li等針對功能梯度材料薄膜，基于經(jīng)典薄板假設(shè)，提出了考慮表面彈性的連續(xù)介質(zhì)模型。采用Soldatos板理論的位移假設(shè)，以表面力學(xué)基本方程代替經(jīng)典理論中表面剪應(yīng)力為零的約束條件，確定自適應(yīng)形函數(shù)的具體形式，獲得了無限長功能梯度材料薄膜的解析解。3 功能梯度壓電懸臂梁的彎曲分析 考慮如圖1的正交各向異性功能梯度壓電懸臂梁，從彈性力學(xué)的基本方程出發(fā)，利用半逆解法，假設(shè)材料的所有電彈性常數(shù)沿厚度方向按同一函數(shù)規(guī)律變化。 sij=sij0F(z) dij=dij0F(z) λij=λij0F(z) (1)其中F(z)是梯度函數(shù)，sij,dij和λij分別是彈性、壓電和介電系數(shù), sij0, dij0, λij0是相應(yīng)的材料參數(shù)在z0(Fz0=1)處的值 圖1 功能梯度壓電懸臂梁示意圖當(dāng)三維壓電介質(zhì)在y軸方向的尺寸較其他兩軸方向尺寸小得多，且全部載荷均勻作用在xz平面內(nèi)且不沿y軸方向變化時(shí)，問題可以簡化為xz平面內(nèi)的平面應(yīng)力問題；而當(dāng)三維壓電介質(zhì)在y軸方向的尺寸較其他兩軸方向尺寸大得多，且全部載荷均勻作用于xz平面內(nèi)且不沿y變化時(shí)，問題可以簡化為xz平面內(nèi)的平面應(yīng)變問題。設(shè)是位移分量 σx,σy,τzx是應(yīng)力分量,εx,εy,γzx為應(yīng)變分量，Ex,Ez是電場分量，Dx,Dz是點(diǎn)位移分量，φ是電勢 則有：電學(xué)平衡方程 ?Dx?x+?Dz?z=0 (2) 力學(xué)平衡方程 ?σx?x+?τzx?z=0?τzx?x+?σz?z=0 (3) 本構(gòu)方程εxεzγzx=s11s130s13s33000s44σxσzτzx+0d310d33d150ExEz (4) DxDz=00d15d31d330σxσzτzx+λ1100λ33ExEz (5)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系εx=?u?x εz=?ω?z γzx=?u?z+?ω?x (6) 電場與電勢之間的關(guān)系Ex=?φ?x Ez=?φ?z (7)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程?2εx?z2+?2εz?x2?2γzx?z?x=0 (8)對于懸臂梁，邊界條件如下：力邊界條件： 在 x=0處 h/2h/2σxdz=0 h/2h/2τzxdz=Pb h/2h/2σxzdz=Mb (9)在z=h2處 σz=τzx=0 (10)在z=h2處 σz=q, τzx=0 (11) 電邊界條件：在 x=0和x=1處 h/2h/2Dxdz=0 (12) 在z=177。在z=0處的材料常數(shù)為PZT4材料的相應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表表1 PZT4材料的物性參數(shù)彈性模量/1012m2N1 介電常數(shù)/108F所有的物理量的變化曲線與均勻壓電梁情況比都有一定偏離，而且梯度參數(shù)α越大，偏離越大。法向應(yīng)力σz和電位移Dz分別比其他應(yīng)力和電位移小的多，實(shí)際上可以忽略。 圖2自由端位移u(0,z)/m 圖3自由端位移w(0,z)/m 圖4固定端應(yīng)力σx(1,z)/Pa 圖5固定端應(yīng)力σz(1,z)/Pa 圖6固定端應(yīng)力τzx(1,z)/Pa 圖7固定端電位移Dx(1,z)C?m2 圖8固定端電位移Dz(1,z)/C?m24 全文總結(jié)與工作展望利用半逆解法，本文給出了功能梯度壓電材料懸臂梁二維彎曲問題的解析解。該解適用于任意梯度函數(shù)分布的情況，因此可以用來作為校驗(yàn)功能梯度壓電材料梁簡化理論以及近似數(shù)值方法的依據(jù)。本文研究的主要方法采用的是半逆解法，在今后的研究過程中還可以嘗試著用其他方法，比如：逆解法、數(shù)值分析法等等。. AIAA Journal , 2003, 41(12): 25012505[50]Zhu H., Sankar B. V. A bined Fourier seriesGalerkin method for the analysis of functionally graded beams.在論文寫作過程中，得到了老師和許多同學(xué)的指導(dǎo)和幫助，陳老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、淵博的專業(yè)知識、崇高的職業(yè)品德、無私的奉獻(xiàn)精神令我很感動，我從老師身上學(xué)到了做學(xué)問的態(tài)度、方法與知識，但更重要的是學(xué)到了做人的道理與做任何事情都應(yīng)有的認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。在此過程中，有老師和同學(xué)幫我搜集、查閱資料，校對文章，我不勝感激！同時(shí)對所有關(guān)心過我的領(lǐng)導(dǎo)、老師、同學(xué)表達(dá)我由衷的敬意！最后衷心感謝在百忙之中抽出時(shí)間參加答辯的各位專家、教授，謝謝你們！畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。對本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確說明并表示謝意。有權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。保密的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 日期： 注 意 事 項(xiàng)（論文）的內(nèi)容包括：1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）中文摘要（300字左右）、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論）、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對論文支持必要時(shí)）：理工類設(shè)計(jì)（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于1萬字（不包括圖紙、程序清單等）。、圖表要求：1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯(cuò)別字，不準(zhǔn)請他人代寫2）工程設(shè)計(jì)類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計(jì)算機(jī)繪制，所有圖紙應(yīng)符合國家技術(shù)標(biāo)