【正文】 等數(shù)論的抽象性、嚴(yán)密性和邏輯性，感受不到數(shù)學(xué)的魅力。 （1）加強(qiáng)對(duì)概念間相互關(guān)系的梳理，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解概念，避免死記硬背。要引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)去掌握這些知識(shí)，而不是機(jī)械地記憶一堆支離破碎、毫無(wú)關(guān)聯(lián)的概念和結(jié)論。 雖然我們強(qiáng)調(diào)從生活的角度引出數(shù)學(xué)知識(shí)，但數(shù)論本身就是研究整數(shù)性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科，有時(shí)不太容易與具體情境結(jié)合起來(lái)，如質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，很難從生活實(shí)際中引入。 2. 這部分內(nèi)容可以用6課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。 1. 因數(shù)和倍數(shù)。 在以往的教材中，都是通過(guò)除法算式來(lái)引出整除的概念，每個(gè)除法算式對(duì)應(yīng)著一對(duì)有整除關(guān)系的數(shù)，如b247。n＝a表示b能被n整除。實(shí)際上，如前所述，由于乘除法本身就存在著互逆關(guān)系，用乘法算式（如b＝na）同樣可以表示整除的含義。這樣，學(xué)生不必通過(guò)12247。再通過(guò)12247。在這兒，用一個(gè)乘法算式26＝12可以同時(shí)說(shuō)明“2和6都是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)。 在學(xué)生熟練掌握了因數(shù)和倍數(shù)的概念以后，教材讓學(xué)生試著找出12的其他因數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出兩個(gè)數(shù)的積等于12的另一個(gè)乘法算式112＝12，從而得出1和12也是12的因數(shù)。 因?yàn)閿?shù)論只研究整數(shù)的性質(zhì)，所以，本單元中涉及到的數(shù)都是整數(shù)。根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義，0是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是0的因數(shù)。因此，教材指出本單元研究的內(nèi)容一般不包括0，這樣就避免了一些不必要的麻煩。 接下來(lái)，再結(jié)合直觀圖（3行飛機(jī)，每行4架）進(jìn)一步鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用一般的乘法算式ab=c歸納出因數(shù)和倍數(shù)的概念：a、b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。 因此，要注意，只有在這個(gè)乘法算式中的因數(shù)和積都是整數(shù)的情況下才能討論因數(shù)和倍數(shù)的概念。（2）因數(shù)和倍數(shù)是一對(duì)相互依存的概念，不能單獨(dú)存在。（3）要注意區(qū)分乘法算式各部分名稱(chēng)中的“因數(shù)”和本單元中的“因數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別。（4）要注意區(qū)分“倍數(shù)”與前面學(xué)過(guò)的“倍”的聯(lián)系與區(qū)別。我們?cè)谇笠粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，運(yùn)用的方法與“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”是相同的，只是這里的“幾倍”都是指整數(shù)倍。編寫(xiě)意圖 例1是教學(xué)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法。在這里，每列出一個(gè)乘法算式，就可以求出18的一對(duì)因數(shù)，只要學(xué)生有序地寫(xiě)出兩個(gè)數(shù)的乘積是18的所有乘法算式，就可以把因數(shù)找全。 接下來(lái)，通過(guò)“做一做”進(jìn)一步鞏固求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法。 教學(xué)建議 教學(xué)例1時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生從因數(shù)的概念出發(fā)去求18的因數(shù)，也就是想：哪兩個(gè)整數(shù)相乘的積是18？從每個(gè)滿(mǎn)足條件的乘法算式中可以找出18的一對(duì)因數(shù)。教學(xué)時(shí)，如果學(xué)生用除法思考，固定被除數(shù)18，改變除數(shù)，看除得的商是不是整數(shù)，如果是，則除數(shù)和商都是被除數(shù)的因數(shù)，這樣的思考方法也是應(yīng)該鼓勵(lì)的。 然后，讓學(xué)生做“做一做”的題目。3. 例2。 根據(jù)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的定義，可知該數(shù)和任意非零自然數(shù)之積都是該數(shù)的倍數(shù)。接下來(lái)，也用集合圖表示出2的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)用交集表示兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。 最后，與例1的編排相類(lèi)似，教材通過(guò)求以上幾個(gè)數(shù)的倍數(shù)，使學(xué)生總結(jié)出：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，只有最小的倍數(shù)，沒(méi)有最大的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)最小公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。 教學(xué)建議 教學(xué)例2時(shí)，可以參照例1的方法進(jìn)行教學(xué)。學(xué)生找出了幾個(gè)2的倍數(shù)以后，教師可以提問(wèn)2的倍數(shù)有多少個(gè)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，進(jìn)而想到2的自然數(shù)倍也是無(wú)限的，無(wú)法一一羅列，可以用省略號(hào)表示。然后在完成“做一做”的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是幾？有沒(méi)有最大的倍數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生自主得出結(jié)論。 第2題，讓學(xué)生分別找出36和60的因數(shù)，在學(xué)生完成題目后，教師可以有意識(shí)地讓學(xué)生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個(gè)數(shù)共同的因數(shù)，這些共同因數(shù)中最大的是什么，為后面學(xué)習(xí)“公因數(shù)”和“最大公因數(shù)”做準(zhǔn)備。 第5題，幫助學(xué)生辨析某些概念。再如，任何一個(gè)非零自然數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)都是無(wú)限的，任何非零自然數(shù)都有因數(shù)1，等等。 實(shí)際上，題目中共有四個(gè)限制條件，先看42的因數(shù)有1242，其中只有1242是7的倍數(shù)，這四個(gè)數(shù)中只有14和42是2的倍數(shù)，其中只有42才是3的倍數(shù)，所以，符合條件的數(shù)只有42。 第16頁(yè)的思考題，是通過(guò)兩個(gè)特殊的例子，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不完全歸納，總結(jié)出以下的結(jié)論：如果兩個(gè)數(shù)都是一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和也是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。這個(gè)結(jié)論還可以進(jìn)一步擴(kuò)展：如果有n個(gè)數(shù)都是一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這n個(gè)數(shù)的和也是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。 學(xué)生的分?jǐn)?shù)運(yùn)算是否熟練，取決于約分和通分掌握得是否熟練，而約分和通分是否熟練，在很大程度上取決于能不能很快地根據(jù)分子、分母的特征看出分子和分母有什么公因數(shù)，能不能很快地求出幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的公倍數(shù)。 教材先教學(xué)5的倍數(shù)的特征，再教學(xué)3的倍數(shù)的特征。而3的倍數(shù)的特征，不能只從個(gè)位上的數(shù)來(lái)判定，必須把其各位上的數(shù)相加，看所得的和是否為3的倍數(shù)來(lái)判定，學(xué)生理解起來(lái)有一定的困難，因此把它放在5的倍數(shù)的特征后面教學(xué)。編寫(xiě)意圖 教材從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，通過(guò)電影院里“雙號(hào)”的概念，使學(xué)生利用因數(shù)和倍數(shù)的概念，判斷出這些“雙數(shù)”都是2的倍數(shù)。 在學(xué)生總結(jié)了2的倍數(shù)的特征的基礎(chǔ)上，教材又介紹了偶數(shù)和奇數(shù)的概念。 接下來(lái)，讓學(xué)生思考：為什么這些數(shù)稱(chēng)為雙數(shù)？它們和2有什么聯(lián)系？（學(xué)生在生活中已經(jīng)具備了“雙”即為“2個(gè)”的經(jīng)驗(yàn)。也可以讓學(xué)生聯(lián)系前面學(xué)過(guò)的2的倍數(shù)的求法，說(shuō)出若干個(gè)2的倍數(shù)。因此，判斷一個(gè)數(shù)是不是2的倍數(shù)，只要看這個(gè)數(shù)的個(gè)位上是什么數(shù)就可以了。由于2的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，無(wú)法一一驗(yàn)證，在這兒，只要學(xué)生通過(guò)觀察有限個(gè)2的倍數(shù)的特征，總結(jié)出所有2的倍數(shù)的特征就可以了，不要求嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明（見(jiàn)參考資料）。 我們?cè)谶@個(gè)單元中一般不考慮0，在這兒需要作一個(gè)特殊說(shuō)明，因?yàn)?也是2的倍數(shù)，因此0也是偶數(shù)。在此基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生將2的倍數(shù)的特征表示為“個(gè)位上是偶數(shù)的都是2的倍數(shù)”。編寫(xiě)意圖 編排方式與2的倍數(shù)的特征相似，也是通過(guò)實(shí)際情境引入，讓學(xué)生在觀察5的倍數(shù)的個(gè)位上的數(shù)的特點(diǎn)基礎(chǔ)上概括出5的倍數(shù)的特征。 完成“做一做”的題目時(shí)，可以使學(xué)生初步感受公倍數(shù)的概念，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：如果一個(gè)數(shù)既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，那它必定是10的倍數(shù)，也就是末尾有0的數(shù)（0除外）。編寫(xiě)意圖 更加突出學(xué)生的自主探索，使學(xué)生在觀察——猜想——推翻猜想——再觀察——再猜想——驗(yàn)證的過(guò)程中，概括出3的倍數(shù)的特征。教學(xué)建議 教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證的完整過(guò)程。但通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個(gè)位上的數(shù)有的是3的倍數(shù)，有的不是，于是產(chǎn)生認(rèn)知沖突。于是，形成新的猜想：一個(gè)數(shù)如果是3的倍數(shù)，那么它各位上數(shù)的和也是3的倍數(shù)。還可以任意寫(xiě)一個(gè)數(shù)，利用這一結(jié)論來(lái)驗(yàn)證，如3697，3＋6＋9＋7＝25，25不是3的倍數(shù)，而3697247。通過(guò)這樣的方式也使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：找出某個(gè)規(guī)律后，還要找出一些正面的、反面的例子進(jìn)行檢驗(yàn)，看是不是普遍適用。 如完成“做一做”第1題時(shí)，學(xué)生判斷完45是3的倍數(shù)后，教師可以再讓學(xué)生判斷一下54是不是3的倍數(shù)。 第18頁(yè)的“做一做”已經(jīng)有所鋪墊，學(xué)生已經(jīng)知道只有末尾是0的數(shù)才能同時(shí)是2和5的倍數(shù)，而此題中所求的數(shù)又是一個(gè)三位數(shù)，所以，就要從幾百幾十中找這樣的數(shù)，這樣，每增加一個(gè)條件，符合條件的數(shù)的范圍就縮小一些，通過(guò)層層“篩選”，求出符合條件的數(shù)是120。 4. 關(guān)于練習(xí)三中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 有了這些數(shù)據(jù)后，還可以在后面的練習(xí)中進(jìn)一步判斷它們是不是3的倍數(shù)。 由于媽媽買(mǎi)的是一些馬蹄蓮和郁金香，馬蹄蓮10元1枝，所以它的總價(jià)是10的倍數(shù)，也就是整十?dāng)?shù)，而郁金香是5元1枝，所以它的總價(jià)是5的倍數(shù)，個(gè)位上是0或5，兩者合起來(lái)的總價(jià)一定是幾十元或幾十五元，因此，服務(wù)員找的錢(qián)數(shù)不對(duì)。 如想“□7是3的倍數(shù)”，就要想“□＋7是3的倍數(shù)”，□中符合條件的數(shù)有8。 而要找一個(gè)奇數(shù)，同時(shí)又是5的倍數(shù)，也是先確定個(gè)位上的數(shù)必須是5，其他數(shù)位上可以取任意數(shù)。 羅列的時(shí)候，要引導(dǎo)學(xué)生采用有序的思考方式，保證不重復(fù)、不遺漏。也可以先根據(jù)下面各類(lèi)數(shù)的特點(diǎn)確定范圍，如這些數(shù)字能組成的偶數(shù)，個(gè)位數(shù)只能是0和4，那么相應(yīng)的數(shù)就有43350、5450、540，305035534。教學(xué)時(shí)，還可以把本題進(jìn)一步拓展，如讓學(xué)生思考用這4張卡片能組成的3的倍數(shù)中，一位數(shù)有哪些，兩位數(shù)、四位數(shù)呢？ 第11*題，是讓學(xué)生進(jìn)一步探索偶數(shù)和奇數(shù)的性質(zhì)。3. 質(zhì)數(shù)和合數(shù)（第23～26頁(yè)） 在數(shù)論中，有關(guān)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的理論一直吸引著數(shù)學(xué)家們不斷探索。再比如，1742年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出了著名的“哥德巴赫猜想”：任何大于2的偶數(shù)，都可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，這一數(shù)學(xué)王冠上的明珠至今仍吸引著無(wú)數(shù)人孜孜以求。 在小學(xué)階段，只是讓學(xué)生在因數(shù)、倍數(shù)的基礎(chǔ)上初步掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，為后面學(xué)習(xí)求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)以及約分、通分打下基礎(chǔ)。1. 質(zhì)數(shù)和合數(shù)。 在此基礎(chǔ)上給出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。教學(xué)建議 教學(xué)時(shí)，可以先復(fù)習(xí)因數(shù)的概念，然后再讓學(xué)生找出1～20各數(shù)的所有因數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)的因數(shù)有什么不同，可以怎樣分類(lèi)。在分類(lèi)的基礎(chǔ)上，再引出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，說(shuō)明只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，有兩個(gè)以上因數(shù)的數(shù)叫合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2. 例1。 學(xué)生通過(guò)此例可以學(xué)會(huì)找質(zhì)數(shù)的一般方法“篩法”，即劃掉每個(gè)質(zhì)數(shù)的所有倍數(shù)（它本身除外），剩下的都是質(zhì)數(shù)。這些質(zhì)數(shù)不必要求學(xué)生都背熟，但是熟悉20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)還是有必要的。 教學(xué)建議 教學(xué)時(shí)，盡量采取讓學(xué)生自己完成任務(wù)的教學(xué)方式。例如，有的學(xué)生是先找每個(gè)數(shù)分別有幾個(gè)因數(shù)，然后再根據(jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義進(jìn)行判斷。因此，只要把所有質(zhì)數(shù)后面的倍數(shù)都劃去，剩下的就都是質(zhì)數(shù)了。由于自然數(shù)是無(wú)限的，所以質(zhì)數(shù)和合數(shù)也是無(wú)限的。但20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)用得較多，最好應(yīng)提醒學(xué)生逐步記住。 例如，可讓學(xué)生按照不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，按是不是2的倍數(shù)可以把整數(shù)分成偶數(shù)和奇數(shù)兩類(lèi)，按約數(shù)的多少把非零自然數(shù)分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1三類(lèi)。3. 關(guān)于練習(xí)四中一些習(xí)題的說(shuō)明和教學(xué)建議。 判斷時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)明理由或舉出反例。第（4）小題，因?yàn)榕紨?shù)2是質(zhì)數(shù)，它和其他質(zhì)數(shù)的和都是奇數(shù)，因此，題中的說(shuō)法不正確。 如第1小題，可以先通過(guò)“兩個(gè)數(shù)的積是21”知道這兩個(gè)數(shù)是21的一對(duì)因數(shù)，這樣的因數(shù)只有3和7或1和21，而前者正好滿(mǎn)足3＋7=10且都是質(zhì)數(shù)。 第4題，是帶著練習(xí)3的倍數(shù)的特征。 但舉例只能舉出有限個(gè)，是不是所有大于2的偶數(shù)都滿(mǎn)足這一結(jié)論呢？從而引起學(xué)生繼續(xù)探求的興趣，也很自然地引出下面的