【正文】 f),T均為唯一正值, 即T隨x的變化而變, 所以f(x)?xcosx不是周期函數(shù).24. 證明函數(shù)?(x)?x?x?1在(0,??)上是單調(diào)增函數(shù).證 因?yàn)?x1,x2?(0,??)且x1?x2均有22f(x1)?f(x2)?(x1?x1?1)?(x2?x2?1)?(x1?x2)(x1?x2?1)而x1?x2?0時(shí),x1?x2?1?0,所以 f(x1)?f(x2)?0,即 f(x1)?f(x2)故f(x)為單調(diào)增函數(shù).5. f(x)為定義在（1，1）上的奇函數(shù)，若f(x)在（0，1）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù), 證明在（1，0）內(nèi)也單調(diào)遞增.證 對(duì)于?x1, x2?（1，0）,設(shè)x1amp。x2，由已知得f(?x1)??f(x1)f(?x2)??f(x2)且f(?x1)?f(?x2),其中 x1, x2?（0，1）.則 f(x1)?f(x2)??f(?x1)?f(x2)???0即 f(x1)?f(x2)故f(x)在（1，0）內(nèi)也單調(diào)遞增.6*. 證明y?xcosx不是周期函數(shù).證 因?yàn)镈(?) = .1x?(y?1)5（4）由所給函數(shù)解出x, 得1y?(x?1) (??,??)5交換x, y得, 反函數(shù) .2． 2． 下列函數(shù)是由那些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的. 9經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)(1)yy?sin2x(3)y?ecosx (4)y?(1?lgx)3解（1）該函數(shù)是由冪函數(shù)y?u?1?v,以及正弦函數(shù)v?sinx 復(fù)合而成的.（2）該函數(shù)是由冪函數(shù)y = u2與正弦函數(shù)u?sinx復(fù)合而成.2（3）該函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y?e, 冪函數(shù)u?v及余弦函數(shù)v?cosx 2u復(fù)合而成的.(4) 該函數(shù)是由冪函數(shù)y?u, 對(duì)數(shù)函數(shù)u?1?lgx復(fù)合而成.2xf(x)?x,g(x)?2,求f，g,f,g. 3. 已知3解 由復(fù)合函數(shù)定義, 得f?(2x)2?4x,g?2x 2f?(x2)2?x4,g?22?x?1,x?1f(x)???2x?1,x?1，求f(x?1). 4. 設(shè)x。lt。lt。gt。gt。gt。gt。gt。據(jù)統(tǒng)計(jì)， 每袋降低3分錢，試求價(jià)格為p時(shí)的需求量Qd，并求出當(dāng)p = .解 設(shè)線性需求函數(shù)為 Qd?a?bp(a?0,b?0 且為常數(shù))，?a??1?由題意得方程組 ?a??得 a = 4, b = 10. 故所求線性需求函數(shù)為Qd?4?10p于是當(dāng)p = , Qd = ，.5. 已知下列需求函數(shù)和供給函數(shù)，求相應(yīng)的市場(chǎng)均衡價(jià)格p*. (1) Qd?1002?p,Qs??20?10p33，22（2）p?2Qd?114,p?Qs?3解 設(shè)市場(chǎng)均衡價(jià)格P*，則由等式Qd(p) = QS(p), 得15經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)1002?p??20?10p3（1）3即 P*=5.22p?2Q?114,解得 P*= 8. d（2）將Qs = p 3 , 代入6． = 0，2，4時(shí)，相應(yīng)的R = 0，6，8. 試確定R與x的函數(shù)關(guān)系.解 由題意設(shè)總收入R與x的函數(shù)關(guān)系為2 R?ax?bx?c將x=0. R=0；x=2, R=6；x=4, R=8分別代入關(guān)系式中，得c?0???6?4a?2b?c? ?8?16a?4b?c1a?, b?4, ? 故所求總收益函數(shù)為1R??x2?4x2.７．某產(chǎn)品年產(chǎn)量為x臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)180元，當(dāng)年產(chǎn)量在300臺(tái)以內(nèi)時(shí)，可以全部售出；,每臺(tái)平均廣告費(fèi)20元；生產(chǎn)再多一些，本年內(nèi)就售不出去，試將本年的銷售收入R 表示為年產(chǎn)量x的函數(shù).解 由題意知當(dāng)x≤300時(shí)，收入R = 180x (元)當(dāng)300amp。x ≤500時(shí)，收入R = 30020+180x20x = 6000+160x (元)當(dāng)500amp。x時(shí)，收入R = 6000+160500 = 86000（元）故本年銷售收入R為年產(chǎn)量x的函數(shù)為?180x, 0?x?300?R??6000?160x, 300?x?500?86000, x?500? .８．某種玩具定價(jià)５元／件，每月可售出1000件, ,.（x元）解 設(shè)總收入為R，多售出件數(shù)為x件，則每件應(yīng)降低10于是總收入 R?(5?）(100?0x?)105?00x0?16經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)所以將總收入R表示為多售出件數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為. R = 5000 + 4x （元）9. 某種彩色電視機(jī)每臺(tái)售價(jià)為1500元, 每月可銷售2000臺(tái),每臺(tái)售價(jià) 降50元時(shí),每月可增銷100臺(tái),試求該電視機(jī)的需求函數(shù).解 電視機(jī)的需求量為Qd，價(jià)格為p則需求函數(shù)為 Qd?a?bp (a?0,b?0且為常數(shù))將p = 1500, Qd = 2000。 （2）④。 （4）③。lt。lt。lt。gt。lt。(2) 問a取何值時(shí)，f(x)以2為周期.解 (1)由f(x)是奇函數(shù)知, f(?x)??f(x)且f(?1)??f(1)因?yàn)閒(x?2)?f(x)?f(2)，所以令x= 1, 得 ?(2) = 2a.又分別令x=3與x=1, 有?f(5)?f(3)?f(2)??f(3)?f(1)?f(2)得 ?(5) = 5a.(2)由f(x?2)?f(x)?f(2)知,當(dāng)且僅當(dāng)?(2) = 0, 即2a = 0時(shí),就恒有f(x?2)?f(x)故當(dāng)a = 0時(shí), f(x)以2為周期.12. (最優(yōu)批量問題）某工廠生產(chǎn)某中產(chǎn)品，年產(chǎn)量為a噸，分若干批進(jìn)行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為b元，設(shè)產(chǎn)品均投放市場(chǎng)，且上一批賣完后立即生產(chǎn)下一批，即平均庫(kù)存量為批量的一半. 設(shè)每年每噸庫(kù)存費(fèi)為c元，顯然，生產(chǎn)批量大則庫(kù)存費(fèi)高；生產(chǎn)批量少則批數(shù)多，選擇最優(yōu)批量，試求出一年中庫(kù)存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和與批量的函數(shù)關(guān)系.解 (x)aa?b 因?yàn)槟戤a(chǎn)量為a，每年就應(yīng)生產(chǎn)（x）批，所以生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為x. xx?c22又因平均庫(kù)量為,庫(kù)存費(fèi)就為.aaxy(x)?b?cx2. (x為整數(shù)) 故13. 某商業(yè)機(jī)械廠根據(jù)市場(chǎng)需要，生產(chǎn)電梯踏板，固定成本為20000元，每生產(chǎn)100個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加50 元，銷售收入900元，每年最多生產(chǎn)100000個(gè)單位產(chǎn)品. 如果年產(chǎn)量為x個(gè)單位產(chǎn)品，試把一年的總利潤(rùn)L表示為x的函數(shù).21經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)解 L(x)?90050x?20000?x100100??20000 (0?x?100000).22相關(guān)資料四 : 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(二重積分習(xí)題及答案)第九章二重積分習(xí)題 9－1??f(x,y)?01．設(shè)，試闡述二重積分Df(x,y)d?的幾何意義.f(x,y)d???f(x,y)?0解 當(dāng)時(shí)，二重積分D表示的是以xy平面上的有界閉區(qū)間為底，以曲面z?f(x,y)為頂,母線平行于z軸，準(zhǔn)線為區(qū)域D的邊界的一個(gè)曲頂柱體的體積.2．試確定下列積分的符號(hào)并說(shuō)明理由:(1)x?y?1ln(x2?y2)dxdy (2)? x2?y2?4??xdy解 (1) 因x?y?1，22則將此式兩邊平方，得 0?x2?y2?1?2xy?1于是 ln(x?y)?0故 x?y?1ln(x2?y2)dxdy?0.22(2)因?yàn)閤?y?4??xdy??x2?y2?1??xdy?1?x2?y2?2??xdy2?x2?y2?3??xdy?3?x2?y2?4??xdy22當(dāng)x?y?11，且此區(qū)域面積為?，則x?y2?12??xdy??220，且此區(qū)域面積為?，則1?x?y?2當(dāng) 1?x2??xdy?0 ?y2?222?1，且此區(qū)域面積為?，則2?x?y?3當(dāng)2?x2?y2?3??xdy???22且此區(qū)域面積為?,則3?x?y?4當(dāng)3?x?y?4??xdy???0?????0故 x?y?43．試用二重積分的定義證明: 222??2xdy?.1(1) ??d??SDD(其中SD為D之面積)D(2) ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?D(k為常數(shù))n?0i.證 (1) 由二重積分的定義,有?f(???f(x,y)d??lim?Di?1,?i)??i??f(x,y)?1則當(dāng)時(shí),上式變?yōu)镈n?od??lim???i?limSD?SD??0i?1n??0. (2) 由二重積分的定義,有 ?kf(??)????kf(x,y)d??lim?i,iDi?1ni?limk?f(?i,?i)??i??oi?1n?klim?f(?　i,?i)??i??0i?14．根據(jù)二重積分的性質(zhì),比較下列積分的大小. D ?k??f(x,y)d?.2(1) ???x?y?d?D與??(x?y)d?D33,其中D由x軸、y軸及直線x?y?1圍成。其中D由直線y?y?x與y?2x所圍成。(4) ?dy1221解 (1)9－3 所示. 22(x?y)d??dx(x?y)dy????D?1?1211x.28??(2x2?)dx?.?133 圖9－3 13(2)積分區(qū)域D如圖9－4所示.??(x2?y2?x)d???2dy?y01(x2?y2?x)dxD2y??2(1933024y?8y2)dy?136 圖9－4(3)積分區(qū)域D如圖9－5所示.??xy2d??1x21D?0dx?13xx2xydy??0(x?3yx2)dx??1(1x4?1x71033)dx?40 圖 9－5(4)積分區(qū)域D如圖9－6所示.?2dy111x??0dx?x2?1sinx1xy??10xsinxdx?sin1?cos1. 圖9－62．積分區(qū)域D??(x,y)a?x?b,c?y?d?，且被積函數(shù)為f(x)?g(y),求證：??f(x)?g(y)dxdy?bdy)dD?afx()dx?cgy(.證 積分區(qū)域D如圖9－7所示.??f(x)g(y)dxdy?bdD?adx?cf(x)g(y)dy??bf(x)dx??dg(y)dy?bc?af(x)dx??bf(x)dx??dacg(y)dy? 圖9－73．設(shè)f(x,y)在D上連續(xù)且D由y?x、y?a與x?b（b?a）圍成，xbb求證：?badx?af(x,y)dy??ady?yf(x,y)dx.證 積分區(qū)域D如圖9－8 所示.交換等式左邊二次積分的積分順序有?bxadx?f(x,y)dy??bdy?baayf(x,y)dx 圖9－8I?4．下列條件下，將??f(x,y)d?D按不同積分順序化為二次積分：(1) D由y?x與y2?4x所圍成；(2) D由x軸與222半圓周x?y?r?y?0?所圍成.解 (1) 由y2?4x和y?x,得交點(diǎn)為(0,0),(4,4).4積分區(qū)域D如圖9－9 所示.于是將I化為先對(duì)y后對(duì)x的二次積分，得將I化為先對(duì)x后對(duì)y的二次積分，得(2)積分區(qū)域D如圖9－10 所示. 圖9－9將I化為先對(duì)y后對(duì)x的二次積分，得I??dx?04xf(x,y)dy I??dy?04y12y4f(x,y)dx.將I化為先對(duì)x后對(duì)y的二次積分，得圖9－10：I??dx?rr0f(x,y)dy I??dy01rf(x,y)dx(1) ?dy0e1ylnxf(x,y)dx31(2) ?dy?f(x,y)dx001y (3) ?dx?(5) ?dx?0100f(x,y)dy(4) ?dy01f(x,y)dxx2f(x,y)dy??dx?解 (1)因?yàn)樵e分區(qū)域?yàn)閅型區(qū)域,其圖形如圖9－11 所示. 交換積分次序區(qū)域D應(yīng)視為X型區(qū)域. 故D?(x,y)0?y?1,y?x?1(3?x)20f(x,y)dy??10dyyf(x,y)dx??dx?2f(x,y)(2) 因?yàn)樵e分區(qū)域D?(x,y)0?y?1,0?x?y為Y型區(qū)域, 其圖形如圖9－12 所示. 交換積分次序區(qū)域D應(yīng)視為X型區(qū)域. 故 ???01dy?f(x,y)dx??dx?f(x,y)??為X型區(qū)域, 其 (3)因?yàn)樵e分區(qū)域圖形如圖9－13 所示. 交換積分次序區(qū)域D應(yīng)視為Y型區(qū)域.圖9－11 圖9－12 D?(x,y)1?x?e,0?y?lnx故 ?1edx?lnx0f(x,y)dy??dy?xf(x,y)（4）因?yàn)樵e分區(qū)域?yàn)閅 型區(qū)域, 其圖形如圖9－14 所示. 交換積分次序區(qū)域D應(yīng)視為X型區(qū)域. D?(x,y)0?y?1,x? 5dy?0故1f(x,y)dx??dx?110f(x,y)dy.圖9－13 圖9－14（5）因?yàn)樵e分區(qū)域D?D1?D2,其中D1?(x,y)0?x?1,0?y?x2??1??D2??(x,y)1?x?3,0?y?3－x）?2??為X型區(qū)域, 其圖形如圖9－15 所示. 交換積分次序區(qū)域D應(yīng)視為Y型區(qū)域.圖9－15 圖9－16故 ?dx?01x20f(x,y)dy??dx?113?2y031(3?x)20f(x,y)dy ??dy6．求由平面x?0、y?0、x?y?1所圍成的柱體被平面z?0與2x + 3y + z = 6所截f(x,y).解 該曲頂柱體如圖9－16所示.V????6?2x?3y?dxdyD7 ??dx??6?2x?3y?dy?.00211習(xí)題 9－3，計(jì)算下列二重積分：(1) ??(x?y)2sin2?x?y?dxdyD(2?,?)、(?,2?)、.D是頂點(diǎn)為(?,0)、(0,?)的四邊形。(3) ??eDyx?ydxdy, D由x軸，y軸和直線x?y?1所圍成