【正文】 6??1a2b2.解 (1) 積分區(qū)域D如圖9－17所示. D(4) ??(x2a2?y2b2)dxdy,D:x2y21?x??u?v???2??x?y?u?y?1?v?u??2?令?x?y?v，解得?于是原積分區(qū)域D的邊界x?y??、x?y??、x?y???與 圖9－17 x?y?3?、u??、u???相對應. 其積分區(qū)域D’的圖形如圖9－v??、新積分區(qū)域D’的邊界v?3?、18所示. ?x?(x,y)?uJ???(u,v)?y?u因為故 D?x1?v2??y1?2?v121?122 22x?ysin???x?y?dxdy??1???u2sin2v?dudv2D’3?1?2udusin2vdv???2??1?u3???vsin2v?3??????????2?4???2?3???? 圖9－18 ?31?4??(???)?.3223 (2) 積分區(qū)域D如圖9－19所示. ?3??xy?ux?????y?v?y??x令 ?，解得?則新積分區(qū)域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4圍成.其積分區(qū)域D’的圖形如圖9－20所示. 圖9－19?x?x?(x,y)?u?vJ???(u,v)?y?y?u?v 因為?u?2)1v?2v7故 ??x2y2dxdy???Du1?uv?dudvv2vD’圖9－20 ?121ududv??2D’v?（3）積分區(qū)域D如圖9－21所示. 411227ududv??1v3ln2. 2?1?x?y?u?x?u?v??y?v令?，解得?y?v則新積分區(qū)域D’由u = v、v = 0和u = 1圍成. 圖9－21 其積分區(qū)域D’的圖形如圖9－22所示.?x?(x,y)?uJ???y?(u,v)?u因為 ?x1?v??y0?v?11?1圖9－22 故 D??eydxdy???e?1?udvd??u?deD’10v1uv0ovd ??u?e?1?du?e?12.（4）積分區(qū)域D如圖9－23所示.?x?arcos??令 ?y?brsin?則新積分區(qū)域為 D’????,r?0???2?,0?r?1? 圖9－23?x?(x,y)?rJ???(r,?)?y?r因為 ?x???y???acos?bsin??arsin??abrbrcos?故 ??(Dxa22?yb22)dxdy???r2abrdrd?D’2? ?ab?1ab?.002 ，求下列區(qū)域D的面積： d??r3dr?133(1)D由曲線xy?xy?xy?5和xy?15所圍成且x?0、y?0.3333(2)D由曲線y?x、y?4x、x?y、x?4y所圍成且x?0、y?0.?u?xy?x?3解 (1) 令?v?xy，解得y?則新積分區(qū)域D’由 u = u = v = v = 15圍成.8其積分區(qū)域D’的圖形如圖9－24所示.?x?x?(x,y)?u?vJ???(u,v)?y?y?u?v 因為??12v 故 SD???dxdyD???815111dudv??du?dv?4?lnv5?’圖9－24?u?????v??(2) 令??yx???x3?x?y?y3，解得? ?則新積分區(qū)域D’由u = u = v = 1和v = 4圍成.其積分區(qū)域D’的圖形如圖9－25所示.?x?(x,y)?uJ???(u,v)?y?u因為 ?x?v?y?v 圖9－25?3???u8v881?8?8?uv8931111???u8v881139?1?(uv)2833?8?8?vu81故 SD???dxdyD33?4411?????uv?2dudv??du?(uv)2dv1188D’1?.188?y?x?0與y?0所圍成，求證：x?y1cos()dxdy?sin1.??x?y2D 證 積分區(qū)域D如圖9－26所示.1?x??v?u???2??x?y?v?y?1?v?u??2?令?x?y?u，解得?則新積分區(qū)域D’由v = 1,v = u, 及v = u圍成. 圖9－26 ??u?4132du 9其積分區(qū)域D’的圖形如圖9－27所示.?x?(x,y)?uJ???(u,v)?y?u因為?x1?v2??y1?2?v121?122故 ??cosDx?yu1dxdy???cos?dudvx?yv2D’ 圖9－271ucosdu0?v2v1vuv??d02v?v??dv?1v??vsin1vd?0112sin1.1?14．選取適當變換，求證：D證 積分區(qū)域D如圖9－28所示. ??f?x?y?dxdy??f?u?du , D:x?y?1.1?x??u?v???2??x?y?u?y?1?u?v??2?令?x?y?v, 解得?則新積分區(qū)域D’由u = 1, u = 1,v = 1及v = 1所圍成其積分區(qū)域D’的圖形如圖9－29所示. 圖9－28?x?x11?(x,y)?u?v122J?????11?(u,v)?y?y2?22?u?v因為故 ??D1f(x?y)dxyd???fu(?udvd2D’1111??du?f(u)dv??f(u)du.。(2) ??x2y2dxdy,DD由xy?xy?y?x和y?4x所圍成且x?0、y?0。 (2) ??(x2?y2?x)d?,D(3) ??xy2d?,D2其中D由拋物線y?x和直線y?x所圍成。 (2) ???x?y?d?D2與??(x?y)d?D2(x?2)? ，其中D由圓(y?1)2?2圍成.解 (1) 積分區(qū)域D如圖9－1 所示.因在所圍區(qū)域內(nèi)有0?x?y?1,23(x?y)?(x?y)所以2D故 D. 圖9－1(2) 積分區(qū)域D如圖9－2 所示. ???x?y?d????(x?y)d?3因圓(x?2)?(y?1)?2的參數(shù)方程為??x?2?????y?1?? 22x?y?3??cos?)?3?2sin(??)4 圖9－2 則而(x?y)min?3?2?1,且x?y?1,于是(x?y)2?(x?y)3D故 D5．利用二重積分的性質,估計下列積分的值. 3x?yd??(x?y)d?.??????2?(1) I???xy(x?y)d?D， D:0?x?1,0?y?12(2) I???sin2xsin2yd?D， D:0?x??,0?y??(3) I???(x?y?1)d?D， D:0?x?1,0?y?222D:x?y?4 ， (4) I???(x2?4y2?9)d?D?0?x?1?0?xy?1,??0?y?1解 (1) 因?則?0?x?y?2故 0???0d??I???2d??2??d??2SD?2.DDD?0?x???0?sinx?1,??0?y??(2) 因?則?0?siny?1于是 0?sinxsiny?1故 220???0d??I???d??SD??2.DD?0?x?1?（3）因?0?y?2，則1?x?y?1?4故 ??d????(x?y?1)d??4??d?DDD即 2?I?8.2222 (4) 因0?x?y?4,則9?x?4y?9?4(x?y)?9?25 22于是 9SD???9d??I???25d??25SDDD而 SD??r?4?故 36??I?100?.2習題 9－2：(1) ??(x2?y2)d?,D其中D是矩形區(qū)域：x?1,y?1。0時, f(x)是增函數(shù). 故f(x)在（?，+?）上有反函數(shù)?log2(x?1) ,x?0f?1(x)????log2(1?x),x?0.2??x,x?0f(x)?? 2??x?x,x?0. 求f(?x)的解析式. 8. 設?(?x)2,?x?0f(?x)?? 2?(?x)?x,?x?0 解 因為?x2 , x?0f(?x)??2?x?x ,x?0. 所以??1, x?1f(x)????0, x?19. 設?1,?f(x)????0,解 由,求f. x?1x?1知(1)當x?1時，f (x)= 1,于是f?f(1)?1(2)當x?1時, f(x)= 0,于是f = f (0) = 1 由(1), (2)可知 f =1 (?x?R).2??2?x,x?0?x,x?0f(x)?? ,?(x)?? x?2,x?0????x,x?0,求函數(shù)f. （x）,?(x)?0?2??f?? ?(x)?2,?(x)?0 ?解 因為2(1) 當x?0時,?(x)?x?0, 有20經(jīng)濟數(shù)學 經(jīng)濟數(shù)學(函數(shù)習題及答案)f?x2?2（2）當x?0時,?(x)??x?0, 有f?2?x?x2?2,x?0f?? x?0. x?2,?故結合（1）、（2），得11. 設f(x)是奇函數(shù)，f (1) = a且f (x+2) f (x) = f (2）.(1) 試用a表示f (2)與f (5)。0時，f(x)是單調增函數(shù)，xamp。0時, 有x??2?1, x?0f(x)???x1?2, x?0. ??即當xamp。0時，函數(shù)如圖1－7:（2）不是. 因為在x= 0已成多值函數(shù).3. 根據(jù)下列圖形判斷函數(shù)的單調性.圖1－7圖1圖1－8 圖1－9答（a）圖1－8是減函數(shù)； (b) 圖1－9是增函數(shù).4．下列各圖形是否為以x為自變量的函數(shù)圖形，若是，找出圖形所 表示函數(shù)的定義域及值域.18經(jīng)濟數(shù)學 經(jīng)濟數(shù)學(函數(shù)習題及答案)圖1－10 圖1－11答（1）圖1－10是函數(shù)的圖形，D (f) = , Z(f) = .(2) 圖1－11不是函數(shù)的圖形，因它是多值對應.5. 設?1，?f(x)??0，??1，?x?1x?1,g(x)?ex,x?1求f、g并作出這兩個函數(shù)的圖形.0??1, x ??f?0 , x? 0?1 , x ? , 如圖01－12所示. ?解?e , x ?1?g?1 ,x? 1?e?1, x?1?，如圖1－13所示.圖1－12 圖1－131xf()(x?0,x?1)f(x)?x?1，證明f(f{f})?x，并求f(x).x1因為f(x)??111x?1?1?1?x x，則f(x)證f?111?f(x)?111?(1?)x?xf{f}?f(x)?11?1x所以 f(f{f})?f?xf(即 11)??f(x)1?f(x)1x1?x?1?1?x.xf(x)f(x)?2?1，求f(x)，并判斷它是否有反函數(shù)，x7. 設是奇函數(shù)，且當≥0時，若有反函數(shù)則求出其反函數(shù).19經(jīng)濟數(shù)學 經(jīng)濟數(shù)學(函數(shù)習題及答案)解 由f(x)是奇函數(shù)，有f(?x)??f(x)即 f(x)??f(?x)x又因為當x?0時，有 f(x)?2?1?xxf(x)??f(?x)??2?1?1?2x所以當amp。0時函數(shù)的圖形.（2）y =f(x)是否為奇函數(shù)？如果是，請 圖1－6寫出y =f(x)的具體表達式，并作出函數(shù)的圖形；如果不是請說明理由.解（1）y?f(x)是偶函數(shù).??k(x?3)?3，x??3?1??x?3，?3?x?122???1?x?0??x?1，f(x)?? (k?0)x?1，0?x?1??13x?，1?x?3?22???k(x?3)?3，3?x當xamp。 (5) ④.2. 已知y?f(x)在R上有定義，且已知在x?0時函數(shù)圖形如圖1－6所示：（1）y?f(x)是否為偶函數(shù)？如果是，請寫出y?f(x)的具體表達式，并作出xamp。 （3）①。 p = 1450, Qd = 2100分別代入需求函數(shù)中, 得?2000?a?1500b? ?2100?a?1450b即 a = 5000, b = 2.所以該電視的需求函數(shù)為 Qd?5000?2p (p?1500）.綜合習題一1. 選擇填空：（1）函數(shù)y=arcsin(lnx)的定義域為（ ）.① ② ③ ④ . （2）設f(x)是定義在???,???的偶函數(shù)，g(x)是定義在???,??? 的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中（ ）是奇函數(shù).① f ②g③ f ④g.y?（3）設函數(shù)∪，則g(x) = ( ).① sinx ② cosx③ tanx ④ cotx.（4）設f(x)?1?11?x，g(x)?則f= ( ).① 1+ln(x2+1) ②11221?ln(x?1)1?ln(x?1). ③ ④(5) f(x)=|xsinx|ecosx，x∈(∞，+∞)是（ ）. 17經(jīng)濟數(shù)學 經(jīng)濟數(shù)學(函數(shù)習題及答案)①有界函數(shù) ②單調函數(shù)③周期函數(shù) ④偶函數(shù).解 （1）②。lt。lt。0).4．某廠生產(chǎn)的150克袋裝方便面，銷量總在一萬袋左右徘徊，通過革新，提高效率后，逐步降低價格占領市場。0）元，試將總成本C及平均成本C表示為x的函數(shù).解 總成本函數(shù) C = b + ax平均成本函數(shù) ?Cb?a?xx (xamp。0）元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品總成本增加a（aamp。 1且 于是1t?loga(y?1) 2習題 1－514經(jīng)濟數(shù)學 經(jīng)濟數(shù)學(函數(shù)習題及答案)1．將長度為100cm的金屬絲分成兩段，第一段圍成一個正方形，第二段圍成一個圓，設第一段長度為a，正方形與圓的面積之和為S, 試將S表示成a的函數(shù).解 設正方形的面積為S1, 圓的面積為S2, 則a2100?a2(100?a)2S1?(), S2???()?42?4?a2(100?a)2S?S1?S2?(cm)2164?于是 .2．某企業(yè)擬建一個容積為v的長方形水池，設它的底為正方形，如果池底所用材料單位面積的造價