【正文】 2?1?1?解之,得a的取值范圍為?3?sin??a,tan??b且?,??(,試求?,?.224. 已知解 由于?3??,??(,)?22, 于是 ?2??????2??2??????2且 sin(???)?sin??a,解之, 得 ????arcsina,即 ????arcsina,tan(???)?tan??b ????arctanb ????arctanb.5．已知函數(shù)y?f(x)的圖形，作出下列各函數(shù)的圖形：(1)y??f(x) (2)y?f(?x) (3)y??f(?x). 解 (1）y??f(x) 的示意圖形見圖1－1所示.（2）y?f(?x) 的示意圖形見圖1－2所示.（3）y??f(x) 的示意圖形見圖1－3所示.圖1－1圖1－1圖1－2 圖1－313經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)12f(x)?f()?x2,求f(x).x6. 已知解 令 x?1t 將其代入已知條件, 得112f()?f(t)?2tt1?2f(x)?f()?x2??x??2f(1)?f(x)?1?xx2 解方程組 ?11f(x)?(2x2?2)3x. 得7．設(shè)函數(shù)f(x)的圖形如圖1－4所示, 試寫出其表達(dá)式，并做出函數(shù)y??f(x)的圖形.解 由所給圖形知函數(shù)的表達(dá)式為 圖1－4?x,??1,?f(x)???x?1,???x?3,?2?x??1?1?x?00?x?22?x?3因y??f(x)的圖形與f(x)的圖形關(guān)于x軸對稱, 故y??f(x)圖形如圖1－5所示.圖1－5?12f(logx)?x?1,求f(x). a8．已知t解 令t?logax，則x?a?12tf(t)?a?1?y,由此得y amp。gt。 1且 于是1t?loga(y?1) 2習(xí)題 1－514經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)1．將長度為100cm的金屬絲分成兩段，第一段圍成一個(gè)正方形，第二段圍成一個(gè)圓，設(shè)第一段長度為a，正方形與圓的面積之和為S, 試將S表示成a的函數(shù).解 設(shè)正方形的面積為S1, 圓的面積為S2, 則a2100?a2(100?a)2S1?(), S2???()?42?4?a2(100?a)2S?S1?S2?(cm)2164?于是 .2．某企業(yè)擬建一個(gè)容積為v的長方形水池，設(shè)它的底為正方形，如果池底所用材料單位面積的造價(jià)是四周單位面積造價(jià)的2 倍，試將總造價(jià)表示成底邊長的函數(shù)，并確定此函數(shù)的定義域.解 設(shè)四周單位面積的造價(jià)為a, 總價(jià)為y, 底邊長為x, 則y?2ax2?4?vx2x?a?2ax2?4avx（x?0).3. 某產(chǎn)品的產(chǎn)量為x噸，固定成本為b（bamp。gt。0）元，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品總成本增加a（aamp。gt。0）元，試將總成本C及平均成本C表示為x的函數(shù).解 總成本函數(shù) C = b + ax平均成本函數(shù) ?Cb?a?xx (xamp。gt。0).4．某廠生產(chǎn)的150克袋裝方便面，銷量總在一萬袋左右徘徊，通過革新，提高效率后，逐步降低價(jià)格占領(lǐng)市場。據(jù)統(tǒng)計(jì)， 每袋降低3分錢，試求價(jià)格為p時(shí)的需求量Qd，并求出當(dāng)p = .解 設(shè)線性需求函數(shù)為 Qd?a?bp(a?0,b?0 且為常數(shù))，?a??1?由題意得方程組 ?a??得 a = 4, b = 10. 故所求線性需求函數(shù)為Qd?4?10p于是當(dāng)p = , Qd = ，.5. 已知下列需求函數(shù)和供給函數(shù)，求相應(yīng)的市場均衡價(jià)格p*. (1) Qd?1002?p,Qs??20?10p33，22（2）p?2Qd?114,p?Qs?3解 設(shè)市場均衡價(jià)格P*，則由等式Qd(p) = QS(p), 得15經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)1002?p??20?10p3（1）3即 P*=5.22p?2Q?114,解得 P*= 8. d（2）將Qs = p 3 , 代入6． = 0，2，4時(shí)，相應(yīng)的R = 0，6，8. 試確定R與x的函數(shù)關(guān)系.解 由題意設(shè)總收入R與x的函數(shù)關(guān)系為2 R?ax?bx?c將x=0. R=0；x=2, R=6；x=4, R=8分別代入關(guān)系式中，得c?0???6?4a?2b?c? ?8?16a?4b?c1a?, b?4, ? 故所求總收益函數(shù)為1R??x2?4x2.７．某產(chǎn)品年產(chǎn)量為x臺，每臺售價(jià)180元，當(dāng)年產(chǎn)量在300臺以內(nèi)時(shí)，可以全部售出；,每臺平均廣告費(fèi)20元；生產(chǎn)再多一些，本年內(nèi)就售不出去，試將本年的銷售收入R 表示為年產(chǎn)量x的函數(shù).解 由題意知當(dāng)x≤300時(shí)，收入R = 180x (元)當(dāng)300amp。lt。x ≤500時(shí)，收入R = 30020+180x20x = 6000+160x (元)當(dāng)500amp。lt。x時(shí)，收入R = 6000+160500 = 86000（元）故本年銷售收入R為年產(chǎn)量x的函數(shù)為?180x, 0?x?300?R??6000?160x, 300?x?500?86000, x?500? .８．某種玩具定價(jià)５元／件，每月可售出1000件, ,.（x元）解 設(shè)總收入為R，多售出件數(shù)為x件，則每件應(yīng)降低10于是總收入 R?(5?）(100?0x?)105?00x0?16經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)所以將總收入R表示為多售出件數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為. R = 5000 + 4x （元）9. 某種彩色電視機(jī)每臺售價(jià)為1500元, 每月可銷售2000臺,每臺售價(jià) 降50元時(shí),每月可增銷100臺,試求該電視機(jī)的需求函數(shù).解 電視機(jī)的需求量為Qd，價(jià)格為p則需求函數(shù)為 Qd?a?bp (a?0,b?0且為常數(shù))將p = 1500, Qd = 2000。 p = 1450, Qd = 2100分別代入需求函數(shù)中, 得?2000?a?1500b? ?2100?a?1450b即 a = 5000, b = 2.所以該電視的需求函數(shù)為 Qd?5000?2p (p?1500）.綜合習(xí)題一1. 選擇填空：（1）函數(shù)y=arcsin(lnx)的定義域?yàn)椋?）.① ② ③ ④ . （2）設(shè)f(x)是定義在???,???的偶函數(shù)，g(x)是定義在???,??? 的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中（ ）是奇函數(shù).① f ②g③ f ④g.y?（3）設(shè)函數(shù)∪，則g(x) = ( ).① sinx ② cosx③ tanx ④ cotx.（4）設(shè)f(x)?1?11?x，g(x)?則f= ( ).① 1+ln(x2+1) ②11221?ln(x?1)1?ln(x?1). ③ ④(5) f(x)=|xsinx|ecosx，x∈(∞，+∞)是（ ）. 17經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)①有界函數(shù) ②單調(diào)函數(shù)③周期函數(shù) ④偶函數(shù).解 （1）②。 （2）④。 （3）①。 （4）③。 (5) ④.2. 已知y?f(x)在R上有定義，且已知在x?0時(shí)函數(shù)圖形如圖1－6所示：（1）y?f(x)是否為偶函數(shù)？如果是，請寫出y?f(x)的具體表達(dá)式，并作出xamp。lt。0時(shí)函數(shù)的圖形.（2）y =f(x)是否為奇函數(shù)？如果是，請 圖1－6寫出y =f(x)的具體表達(dá)式，并作出函數(shù)的圖形；如果不是請說明理由.解（1）y?f(x)是偶函數(shù).??k(x?3)?3，x??3?1??x?3，?3?x?122???1?x?0??x?1，f(x)?? (k?0)x?1，0?x?1??13x?，1?x?3?22???k(x?3)?3，3?x當(dāng)xamp。lt。0時(shí)，函數(shù)如圖1－7:（2）不是. 因?yàn)樵趚= 0已成多值函數(shù).3. 根據(jù)下列圖形判斷函數(shù)的單調(diào)性.圖1－7圖1圖1－8 圖1－9答（a）圖1－8是減函數(shù)； (b) 圖1－9是增函數(shù).4．下列各圖形是否為以x為自變量的函數(shù)圖形，若是，找出圖形所 表示函數(shù)的定義域及值域.18經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)圖1－10 圖1－11答（1）圖1－10是函數(shù)的圖形，D (f) = , Z(f) = .(2) 圖1－11不是函數(shù)的圖形，因它是多值對應(yīng).5. 設(shè)?1，?f(x)??0，??1，?x?1x?1,g(x)?ex,x?1求f、g并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形.0??1, x ??f?0 , x? 0?1 , x ? , 如圖01－12所示. ?解?e , x ?1?g?1 ,x? 1?e?1, x?1?，如圖1－13所示.圖1－12 圖1－131xf()(x?0,x?1)f(x)?x?1，證明f(f{f})?x，并求f(x).x1因?yàn)閒(x)??111x?1?1?1?x x，則f(x)證f?111?f(x)?111?(1?)x?xf{f}?f(x)?11?1x所以 f(f{f})?f?xf(即 11)??f(x)1?f(x)1x1?x?1?1?x.xf(x)f(x)?2?1，求f(x)，并判斷它是否有反函數(shù)，x7. 設(shè)是奇函數(shù)，且當(dāng)≥0時(shí)，若有反函數(shù)則求出其反函數(shù).19經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)解 由f(x)是奇函數(shù)，有f(?x)??f(x)即 f(x)??f(?x)x又因?yàn)楫?dāng)x?0時(shí)，有 f(x)?2?1?xxf(x)??f(?x)??2?1?1?2x所以當(dāng)amp。lt。0時(shí), 有x??2?1, x?0f(x)???x1?2, x?0. ??即當(dāng)xamp。gt。0時(shí)，f(x)是單調(diào)增函數(shù)，xamp。lt。0時(shí), f(x)是增函數(shù). 故f(x)在（?，+?）上有反函數(shù)?log2(x?1) ,x?0f?1(x)????log2(1?x),x?0.2??x,x?0f(x)?? 2??x?x,x?0. 求f(?x)的解析式. 8. 設(shè)?(?x)2,?x?0f(?x)?? 2?(?x)?x,?x?0 解 因?yàn)?x2 , x?0f(?x)??2?x?x ,x?0. 所以??1, x?1f(x)????0, x?19. 設(shè)?1,?f(x)????0,解 由,求f. x?1x?1知(1)當(dāng)x?1時(shí)，f (x)= 1,于是f?f(1)?1(2)當(dāng)x?1時(shí), f(x)= 0,于是f = f (0) = 1 由(1), (2)可知 f =1 (?x?R).2??2?x,x?0?x,x?0f(x)?? ,?(x)?? x?2,x?0????x,x?0,求函數(shù)f. （x）,?(x)?0?2??f?? ?(x)?2,?(x)?0 ?解 因?yàn)?(1) 當(dāng)x?0時(shí),?(x)?x?0, 有20經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)f?x2?2（2）當(dāng)x?0時(shí),?(x)??x?0, 有f?2?x?x2?2,x?0f?? x?0. x?2,?故結(jié)合（1）、（2），得11. 設(shè)f(x)是奇函數(shù)，f (1) = a且f (x+2) f (x) = f (2）.(1) 試用a表示f (2)與f (5)。(2) 問a取何值時(shí)，f(x)以2為周期.解 (1)由f(x)是奇函數(shù)知, f(?x)??f(x)且f(?1)??f(1)因?yàn)閒(x?2)?f(x)?f(2)，所以令x= 1, 得 ?(2) = 2a.又分別令x=3與x=1, 有?f(5)?f(3)?f(2)??f(3)?f(1)?f(2)得 ?(5) = 5a.(2)由f(x?2)?f(x)?f(2)知,當(dāng)且僅當(dāng)?(2) = 0, 即2a = 0時(shí),就恒有f(x?2)?f(x)故當(dāng)a = 0時(shí), f(x)以2為周期.12. (最優(yōu)批量問題）某工廠生產(chǎn)某中產(chǎn)品，年產(chǎn)量為a噸，分若干批進(jìn)行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為b元，設(shè)產(chǎn)品均投放市場，且上一批賣完后立即生產(chǎn)下一批，即平均庫存量為批量的一半. 設(shè)每年每噸庫存費(fèi)為c元，顯然，生產(chǎn)批量大則庫存費(fèi)高；生產(chǎn)批量少則批數(shù)多，選擇最優(yōu)批量，試求出一年中庫存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和與批量的函數(shù)關(guān)系.解 (x)aa?b 因?yàn)槟戤a(chǎn)量為a，每年就應(yīng)生產(chǎn)（x）批，所以生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為x. xx?c22又因平均庫量為,庫存費(fèi)就為.aaxy(x)?b?cx2. (x為整數(shù)) 故13. 某商業(yè)機(jī)械廠根據(jù)市場需要，生產(chǎn)電梯踏板，固定成本為20000元，每生產(chǎn)100個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加50 元，銷售收入900元，每年最多生產(chǎn)100000個(gè)單位產(chǎn)品. 如果年產(chǎn)量為x個(gè)單位產(chǎn)品，試把一年的總利潤L表示為x的函數(shù).21經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(函數(shù)習(xí)題及答案)解 L(x)?90050x?20000?x100100??20000 (0?x?100000).22相關(guān)資料四 : 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)(二重積分習(xí)題及答案)第九章二重積分習(xí)題 9－1??f(x,y)?01．設(shè)，試闡述二重積分Df(x,y)d?的幾何意義.f(x,y)d???f(x,y)?0解 當(dāng)時(shí)，二重積分D表示的是以xy平面上的有界閉區(qū)間為底，以曲面z?f(x,y)為頂,母線平行于z軸，準(zhǔn)線為區(qū)域D的邊界的一個(gè)曲頂柱體的體積.2．試確定下列積分的符號并說明理由:(1)x?y?1ln(x2?y2)dxdy (2)? x2?y2?4??xdy解 (1) 因x?y?1，22則將此式兩邊平方，得 0?x2?y2?1?2xy?1于是 ln(x?y)?0故 x?y?1ln(x2?y2)dxdy?0.22(2)因?yàn)閤?y?4??xdy??x2?y2?1??xdy?1?x2?y2?2??xdy2?x2?y2?3??xdy?3?x2?y2?4??xdy22當(dāng)x?y?11，且此區(qū)域面積為?，則x?y2?12??xdy??220，且此區(qū)域面積為?，則1?x?y?2當(dāng) 1?