[考研數(shù)學(xué)]線性代數(shù)超強(qiáng)總結(jié)-閱讀頁
2025-06-14 23:18本頁面
【正文】 ⑤ 必可用正交矩陣相似對角化（一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量,可能有重的特征值,重?cái)?shù)=）.可以相似對角化 與對角陣相似. 記為： （稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)型）√ 若為可對角化矩陣,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算）.√ 設(shè)為對應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：.√ 若, ,則：.√ 若,則,.二次型 為對稱矩陣 與合同 . 記作： （）√ 兩個(gè)矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù).√ 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：√ 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：√ 經(jīng)過化為標(biāo)準(zhǔn)型.√ 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的,與所作的正交變換有關(guān),但系數(shù)不為零的個(gè)數(shù)是由 惟一確定的.√ 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)為1，1或0時(shí),則為規(guī)范形 .√ 實(shí)對稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù).√ 任一實(shí)對稱矩陣與惟一對角陣合同.√ 用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形:① 求出的特征值、特征向量；② 對個(gè)特征向量單位化、正交化；③ 構(gòu)造（正交矩陣）,；④ 作變換,新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值.正定二次型 不全為零，.正定矩陣 正定二次型對應(yīng)的矩陣.√ 合同變換不改變二次型的正定性.√ 成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：① 正慣性指數(shù)為；② 的特征值全大于；③ 的所有順序主子式全大于；④ 合同于，即存在可逆矩陣使；⑤ 存在可逆矩陣，使 （從而）；⑥ 存在正交矩陣，使 （大于）.√ 成為正定矩陣的必要條件： ； .。
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