【正文】 0 已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11. 2 1 3 0 0 1例13 設(shè)a1=(5,1,5)T, a2=(1,3,2)T, a3=(1,2,1)T,矩陣A滿足 Aa1=(4,3) T, Aa2=(7,8) T, Aa3=(5,5) T,求A.例14 設(shè)A 是n階非零實矩陣,滿足A*=:(1)|A|0.(2)如果n2,則 |A|=1.例15 設(shè)矩陣A=(aij)3180。0時,AcE可逆.(3) 上述兩條的逆命題不成立.例21設(shè)a是n維非零列向量,記A=(1) A2=A219。 A不可逆. (96一)討論: (2)的逆命題也成立.例22 設(shè)A,B都是n階矩陣,證明 EAB可逆219。0,證明(1) AbE和BaE都可逆.(2) A可逆219。A n2(A2E)=A2E 219。反之,如果向量組b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as線性表示,則矩陣(b1,b2,…,bt)等于矩陣(a1,a2,…,as)和一個s180。| a1, a2,…,an|=0.② 線性無關(guān)向量組的每個部分組都無關(guān)(從而每個向量都不是零向量). ③ 如果a1,a2,…,as 線性無關(guān),而a1,a2,…,as ,b線性相關(guān),則b可用a1,a2,…,as 線性表示.④ 如果b可用a1,a2,…,as 線性表示,則表示方式唯一219。 r(a1,a2,…,as)=s.② b可用a1,a2,…,as 線性表示219。r(a1,a2,…,as,b)=r(a1,a2,…,as)=s.推論2: 如果r(a1,a2,…,as)=維數(shù)n,則任何n維向量b都可以用a1,a2,…,as 線性表示.③ b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as 線性表示219。r(a1, a2,188。 r(a1,a2,…,as)= r(a1,a2,…,as, b1,b2,…,bt)= r(b1,b2,…,bt).極大無關(guān)組和秩的概念可以推廣到向量集合上(即包含的向量的個數(shù)不必有限),所有性質(zhì)仍然成立.4. 秩的計算,有相同線性關(guān)系的向量組兩個向量個數(shù)相同的向量組a1,a2,…,as,和 b1,b2,…,bs稱為有相同線性關(guān)系,如果向量方程x1a1+x2a2+…+xsas=0和x1b1+x2b2+…+xsbs=0同解,即齊次線性方程組(a1,a2,…,as)X=0和( b1,b2,…,bs)X=0同解.當(dāng)a1,a2,…,as和 b1,b2,…,bs有相同線性關(guān)系時,(1)它們的對應(yīng)部分組有一致的線性相關(guān)性.(2)它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而它們的秩相等.(3)它們有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系.例如,當(dāng)A經(jīng)過初等行變換化為B時, AX=0和BX=0同解,秩相等.這樣,就產(chǎn)生了計算一個向量組a1,a2,…,as的秩和極大無關(guān)組的方法:把此向量組作為列向量組構(gòu)造矩陣(a1,a2,…,as),用初等行變換把它化為階梯形矩陣B,則B的非零行數(shù)就是a1,a2,…,as的秩, B的各臺角所在列號對應(yīng)的部分組是a1,a2,…,as的的一個極大無關(guān)組. 如果A經(jīng)過初等列變換化為B，則A的列向量組和B的列向量組是等價關(guān)系，雖然秩相等,但是極大無關(guān)組并沒有對應(yīng)關(guān)系.(1) 定義一個矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等,稱此數(shù)為矩陣A的秩,記作r(A).于是r(A)=0219。n矩陣,則r(A)163。 當(dāng)r(A)=n時,稱A為列滿秩的.對于n階矩陣A,則行滿秩和列滿秩是一樣的,:n階矩陣A滿秩219。|A|185。A可逆.矩陣的秩還可以用它的非0子式來看.A的r階子式:任取 A的r行和r列,在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式,如果它的值不為0,就稱為非0子式.命題 r(A)就是A的非0子式的階數(shù)的最大值.(即A的每個階數(shù)大于r(A)的子式的值都為0,但是A有階數(shù)等于r(A)的非0子式.)(2) 計算命題 ① 初等變換保持矩陣的秩.② 階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù). 矩陣秩的計算:用初等變換將其化為階梯形矩陣,則此階梯形矩陣的非零行數(shù)就是原矩陣的秩.(3) 在矩陣運算中,矩陣的秩有性質(zhì)① r(A T)=r(A).② 如果c不為0,則r(cA)=r(A).③ r(A177。r(A)+r(B). ④ r(AB)163。n.⑦ 如果A列滿秩(r(A)等于列數(shù)),則r(AB)=r(B).⑧一般公式: r(A)+r(B)163。 ,as線性無關(guān),向量組b1, b2,188。 ,am線性表示,表示矩陣為C,則i) r(b1, b2,188。 ,bs線性無關(guān)219。 ,as), B=(b1, b2,188。 ,bs)=r(C). t=s時,C可逆219。 ,bs)=r(C)=s 219。 ,⑤證明ii): C可逆時r(B)=r(A)=s,從而b1, b2,188。 ,bs)163。 ,bs線性相關(guān).) 兩個矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化,就稱它們等價. 矩陣的等價的充分必要條件為它們類型相同,秩相等.例1a,b,c滿足什么條件時向量組 a1=(a,0,c),a2=(b,c,0),a3=(0,a,b)線性無關(guān)？(02) 例2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關(guān),并且a185。n矩陣, B是n180。0. (B) 當(dāng)mn 時, |AB |=0.(C) 當(dāng)nm 時, |AB|185。n矩陣，證明r(A)=1219。0,證明a, Aa,…, Ak1a線性無關(guān).例29 證明r(a1,a2,…,as ,b1, b2,…, bt)163。r(A)+r(B).例31 證明矩陣方程AX=B有解219。0.例2 1/2.例3 a=1或b=0并且a185。0和3.(2) λ=0.(3) λ=3.例5 2c1+c2=0. 例6 k=1,a185。1時等價, a=1時不等價.例10 (2)和(4).例11 a1能, a4不能.例12 4.例14 (D).例15 (D).例16 a=1/(1n).例17 a=2b185。 + cshs也都是解.(2) 非齊次方程組AX=b如果x1, x2,…,xs是AX=b的一組解,則① 它們的線性組合c1x1+ c2x2+…+csxs也是AX=b解的219。 c1+ c2+…+cs=0.如果x0是AX=b的一個解,則n維向量(n是未知數(shù)的個數(shù)) x也是解219。r(A )r(A|b).② 有唯一解219。r(A )=r(A|b)n.方程的個數(shù)m雖然在判別公式中沒有出現(xiàn),但它是r(A)和r(A|b)的上界,因此當(dāng)r(A)=m時, AX=b一定有解.當(dāng)mn時,一定不是唯一解.對于齊次方程組AX=0,判別解的情況用兩個數(shù): n,r(A).有非零解219。r(A )=n). 推論1 當(dāng)A 列滿秩時, A 在矩陣乘法中有左消去律:AB=0222。B=C.證明 設(shè)B=(b1,b2,…,bt),則AB=0219。b1,b2,…,bt都是AX=0的解. 而A 列滿秩, AX=0只有零解, bi=0,i=1,2,…,s,即B=0.0 推論2 如果A列滿秩,則r(AB)=r(B).證明 只用證明齊次方程組ABX=0和BX=0同解.(此時矩陣AB和B 的列向量組有相同的線性關(guān)系,從而秩相等.)h是ABX=0的解219。Bh=0(用推論1)219。h可用h1, h2,…,hs線性表示.定理 設(shè)AX=0有n個未知數(shù),則它的基礎(chǔ)解系中包含解的個數(shù)(即解集的秩)=nr(A ).于是,判別一組向量h1, h2,…,hs是AX=0的基礎(chǔ)解系的條件為① h1, h2,…,hs是AX=0的一組解.② h1, h2,…,hs線性無關(guān).③ s=nr(A ). 推論 如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)163。, bs),則Abi=0,i=1,2,188。, bs)163。n.(2) 線性方程組的通解如果h1, h2,…,hs是齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系,則AX=0的通解(一般解)為 c1h1+ c2h2+…+ cshs, 其中c1, c2,…,cs,可取任何常數(shù).如果x0是非齊次方程組AX=b的解, h1,h2,… ,hs是導(dǎo)出組AX=0的基礎(chǔ)解系,則AX=b的通解(一般解)為x0+c1h1+c2h2+…+cshs, 其中c1, c2,…,cs,可取任何常數(shù).例1 3x1+2x22x3+ x4 =0， 6x1+4x2 +5x3+2x4+3x5=0，求此齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解. 9x1+6x2 +3x4+2x5=0， 例2討論p,t的取值對下面方程組解的影響, 并在有無窮多解時求通解.(96四) x1+x22x3+3x4=0， 2x1+x26x3+4x4=1， 3x1+2x2+px3+7x4=1， x1x26x3 x4= t ．例3 齊次方程組AX=0的系數(shù)矩陣為 1+a 1 1 … … 1 2 2+a 2 … … 2A = 3 3 3+a … … 3 , … … … … n n n … …n+a a為什么數(shù)時AX=0有非零解?求通解.(04一)例4 線性方程組的增廣矩陣為 1 a b 1 0(A|b)= 2 1 1 2 0 , 3 2+a 4+b 4 1又已知(1,1,1,1)T是它的一個解.(1) 用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解.(2) 寫出滿足x2=x3的全部解.(04四)例5 設(shè)線性方程組為 x1+a1x2+a12x3=a13,x1+a2x2+a22x3=a23,x1+a3x2+a32x3=a33,x1+a4x2+a42x3=a43.(1)證明當(dāng)a1,a2,a3,a4兩兩不相等時,方程組無解.(2)設(shè)a1=a3=a2=a4=k,并且(1,1,1)T和(1,1,1)T都是解,求此方程組的通解.(94三)例6 已知x1=(0,1,0)T和x2=(3,2,2)T都是方程組 x1x2+2x3=1, 3x1+x2+4x3=1,ax1+bx2+cx3=d的解,求通解.例7已知 x1=(1,1,1,1)T和x2=(1,0,1,0)T是線性方程組 x1+ x2 x3 +x4=2，x2 +px3+qx 4=s, 2x1+tx2x3+tx 4=r 的解,η=(2,2,1,1)T是它的導(dǎo)出組的解,求方程組的通解.例8 設(shè)矩陣A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4線性無關(guān), a1==a1+a2+a3+a4,求AX=b的通解.(02一，二)例9 x1,x2,x3都是AX=b的解,其中x1=(1,2,3,4), x2+x3=(0,1,2,3), r(A)=.(00三)例10 1 2 3已知3階矩陣A的第一行為(a,b,c),a,b,c不全為0, 矩陣 B= 2 4 6 ,并且A B=0, 3 6 k求齊次線性方程組A X=0的通解. (2005年數(shù)學(xué)一,二)例11 設(shè)A是mn矩陣，r(A)=r．則方程組AX = b (A)在r=m時有解. (B)在m=n時有唯一解..(C)在rn時有無窮多解..(D)在r=n時有唯一解. (97四) 例12 設(shè)x1，x2是非齊次方程組AX=b的兩個不同的解,h1,h2為它的導(dǎo)出組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，則它的通解為( ) (A) k1h1+k2h2+(x1x2)/2. (B) k1h1+k2(h1h2)+(x1+x2)/2.(C) k1h1+k2(x1x2)+(x1x2)/2. (D) k1h1+k2(x1x2)+(x1+x2)/2.例13當(dāng)A=( )時，(0，1，1)和(1，0，2)構(gòu)成齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系． (A) 2，1，1； (B) 2 0 1 (C) 1 0 2 (D) 0 1 12 1 –1 . 0 1 1 . 0 1 1 . 1 0 20 1 1 ．(92一) 1例14 x1+x3=0，2x2+x4=0的一個基礎(chǔ)解系為(A)(0,1,0,2)T. (B) (0,1,0,2)T, (0,1/2,0,1)T.(C) (1,0,1,0)T,(2,0,2,0)T. (D) (0,1,0,2)T, (1,0,1,0)T.例15 已知(1,a,2)T,(1,4,b)T構(gòu)成次線性方程組 sx1+x22x3=0, 2x1tx22x3=0的一個基礎(chǔ)解系,求a,b,s,t.例16 線性方程組 2x1+x2+x3x4=1, x1+x2+x32x4=0的通解