【正文】 2l2m 2EI 2l（ b） l l2m 2EI （ c） 112 ?? mT ?由 分析： EImllllEImT a 482)2244311(2 3?? ???????ab TEIlmT ??)48(2223?圖1MP=1 1/4 Ａ 3．單自由度體系的無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)（ 重點(diǎn) ） ⑴ 運(yùn)動(dòng)微分方程： )(11 tPykym ????)(1111 tPymy ?? ??? ??)(111 tPymy P?? ??? ??剛度法 柔度法 或 （干擾力方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向共線） （干擾力方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向不共線） ⑵ 簡(jiǎn)諧荷載 tPtP ?s in)( ? 作用下，平穩(wěn)階段的振幅（即最大動(dòng)位移） ? ? ss AAtyA ?????? ??? )1(1)(22m a xPS PA 1??? （ P與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向共線時(shí)） （ P與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向不共線時(shí)） 11??? PAS動(dòng)荷載幅值 P作為靜力作用，使質(zhì)體沿振動(dòng)方向產(chǎn)生的靜位移。 （無阻尼時(shí)） 2211?????計(jì)算式： 干擾外力不撤消 SAA???? 干擾力的頻率 ?? 體系的自振頻率 位移是雙向的 ⑶ 簡(jiǎn)諧荷載 tPtP ?s in)( ? 作用下，動(dòng)內(nèi)力幅值的計(jì)算 方法 2. 動(dòng)荷載與慣性力共線時(shí)的比例計(jì)算方法（較簡(jiǎn)便） ? ? MPtM D ?? ?m a x)(D? — 動(dòng)力系數(shù)。 當(dāng)水平位移等于 1時(shí)柱端的內(nèi)力值，然后將其擴(kuò)大 A倍，便得到內(nèi)力幅值。 大阻尼時(shí)（ ξ 1），質(zhì)體不產(chǎn)生振動(dòng)。 ⑶ 利用有阻尼振動(dòng)時(shí)振幅衰減的特征，可以用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定體系的阻尼比 : 其計(jì)算公式： knnyyk?? ln2 1??knnyy?ln — 經(jīng)過 k個(gè)周期后，振幅的對(duì)數(shù)遞減量。簡(jiǎn)諧荷載作用下，有阻尼振動(dòng)的動(dòng)力系數(shù)為 222222 4)1(1?????????D在共振區(qū)內(nèi)，即當(dāng) 1???時(shí)，阻尼對(duì)降低動(dòng)力系數(shù)的作用最顯著。 011 ??? ykycym ???單自由度體系有阻尼的自由振動(dòng)的動(dòng)力平衡方程 單自由度體系有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力平衡方程 tPykycym ?s i n11 ??? ???一般了解 tmPyyy ???? s i n2 2 ??? ??? ?? mc2?5. 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng) ⑴ n個(gè)自由度體系應(yīng)具有 n個(gè)自振頻率（或 n個(gè)自振周期），有 n個(gè)主振型。 ⑵ 兩個(gè)自由度體系自振頻率的計(jì)算公式 （ 掌握柔度法 ） ?? ?111m?? ?222m122?m211?m= 0 λ稱為“頻率參數(shù)” 21???頻率方程 ? ? ? ? ? ? ?????? ?????? 2112221121222211122211121 421 ????????? mmmmmm、上式中 11? 22?、 2112 ?? ?、 與力法方程中的系數(shù)的含義相同。 111?? ? 11 2 ???T 21 ?? ?21 TT ?221?? ? 22 2 ???T1?1T— 第一主振型自振周期，亦稱“基本周期”。 ⑶ 主振型的計(jì)算公式 (只能求兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)振幅的比值，不能計(jì)算出確切的值 ) 112 1122 111111 ?? ?? ??? m mAA ）（ ）（第一主振型（ 結(jié)構(gòu)按 ω 1振動(dòng)） 第二主振型（ 結(jié)構(gòu)按 ω 2振動(dòng)） 112 2122 111222 ?? ?? ??? m mAA ）（ ）（⑷ 主振型正交性驗(yàn)算公式： 當(dāng) ω 1≠ ω 2時(shí) 恒有 ? ? ? ? ? ? ? ? 02211 212211 ?? AAmAAm ⑸ 量綱復(fù)習(xí)（ 附加 ）： 國(guó)際單位制中 質(zhì)量用 “ 千克 （ kq）”或“噸（ t）” 力用 “牛頓（ N）”或“千牛頓（ kN）” 力矩用 “ Nm” 211 smkgN ??211 smtkN ??310 ?k 610 ?M 910 ?G重力加速度 smg ?抗彎剛度 EI用“ kNcm2” 或“ N 1. 對(duì)于弱阻尼情況，阻尼越大，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率越小。 （ ） OO X tAty S ?? s i n)( ???1sin ?t?? t?? sin?? 不一定大于 1。 （ 01級(jí)試題） 1. 單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程為 ,其中未考慮質(zhì)體重力 ,這是因?yàn)椋? mtPyyy /)(22 ??? ??? ???( C ) A. 重力在彈性力內(nèi)考慮了。 P=1 l EIl3311 ?? 343943311PEIlEIPlyF ma s ????F 34Pl分析： （ 0 03級(jí)試題） ymax=4Pl3/9EI,其最大動(dòng)彎矩為： ( ) D. Pl/3 Psinθ t m EI l 選擇題： C. 以重力作用時(shí)的靜平衡位置為 y座標(biāo)零點(diǎn)。 3. 單自由度體系如圖，若 μ為動(dòng)力系數(shù)， M st為荷載幅值作為靜力所產(chǎn)生的靜力彎矩，則彎矩幅值可表示為 M =μM st 的體系為 ( ) A. m )sin( tp ?B. m )sin( tp ?C. m )sin( tp ?D. m )sin( tM ?計(jì)算式 M =μM st的適用條件是： 動(dòng)力荷載的方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向共線。 ? ?1111k? ? ?T?（可參考教材第 157頁(yè)例 ） TWgmmk ????21111111 ????剛度系數(shù) k11 (可用位移法求 )； 柔度系數(shù) δ 11 (可用力法去求） . 2) EI=∞ EI EI L h m 32112424 l EIl ik ??k11 Δ=1 Δ=1 hi6hi6 hi6hi6如： EI L L/2 1) EIlllllllEI 8)222312231(1311 ?????????? m P=1 δ11 2lc4911 ??mcmcm 3294111??? ??解 : 因?yàn)榱旱膭偠葹闊o窮大，所以當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處作用單位力時(shí)，彈簧支座的位移 Δ 與質(zhì)點(diǎn)的位移 δ 11有比例關(guān)系： 有 llc 2332 11 ???所以 0?? AM 23lPlR ???有 由 1132???cR ?? 1132 ?由此可得 得 （ 補(bǔ)充 ）：要會(huì)計(jì)算具有有彈簧支座的單自由度體系的自振頻率。已知彈簧剛度為 C，不計(jì)梁的自重。 ⑵ 計(jì)算自振頻率 EIEI 8)3 2223 422(111 ????????)1( 311 sWg ????????cmmPA311??????? ??1 2 12011112222 ??????????例 1(03級(jí)試題 ) 求圖示體系質(zhì)點(diǎn)處最大動(dòng)位移和最大動(dòng)彎矩（ ymax\Mmax) E=2 104kN/cm2 ， I=4800cm4,θ=20s1 , W=20kN ， P=5kN （ 25分） 4m 2m )sin( tp ?EI W EI= 2 104 kN/cm2 4800cm4 = 103 A mkNMPtM .)( m a x ????? ?(分析 :此題屬于靜定結(jié)構(gòu)且振動(dòng)荷載與慣性力共線，可采用簡(jiǎn)化的比例算法 ) M1 2 P=1 解 : 1. 計(jì)算體系自振頻率 ⑴ 繪 M1圖，求柔度系數(shù)。 θ =(ω為自振頻率 )，不計(jì)阻尼。 602 n???每分鐘轉(zhuǎn)數(shù) EI EI EI=∞ m Psin(θ t) l l 3pl3pl3pl3pl3pl 動(dòng)彎矩幅值圖 11K26lEI26lEI26lEI26lEIMΔ=1 ㈢ 計(jì)算兩個(gè)自由度體系的自振頻率和主振型 （兩種類型： 1. 單質(zhì)點(diǎn)雙自由度 2. 雙質(zhì)點(diǎn)雙自由度 ) 例 1(作業(yè) 4第二題 3) a aa求：圖示體系自振頻率和主振型 解：⑴ 繪 1M 2M、 圖，求 ij?EIa6311 ?? EIa2322 ??02112 ????1?P2/a 圖1M1?P2/a2/aa圖2M⑵ 求自振頻率 1? 2?、? ? ? ? ? ??????? ?????? 212221122211221121 42 ???????? m、?????? ?? 31322 3EImaEIma231 ?? EIma632 ??31121maEI???? 322 61 maEI?? ??221?m?111?m?(水平振動(dòng) ) (豎向振動(dòng) ) ⑶ 求主振型 第一主振型 第二主振型 （單質(zhì)點(diǎn)雙自由度） 例 2（ 作業(yè) 4第二題 1） . 求圖示體系的自振周期和主振型，并繪出主振型的形狀。 本題應(yīng)注意的問題： ① 由于結(jié)構(gòu)只有單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，容易誤認(rèn)為是單自由度體系。這是不正確的。（即具有正交性） 11? 22?例 2（ 01級(jí)試題 ）（與教材 173頁(yè)例 ). 求圖示梁的自振頻率及主振型，并畫出主振型圖形。 (25分 ) ?????? ?????? )(4)()(21 21222112122221112221112,1 ???????? mmmmmmmmm ?? 21P=1 a 2Ma P=1 1M解：１．作 圖． 1M 2M求柔度系數(shù) EIa32 32211 ?? ?? EIa632112 ?? ??21 ?? 、2．求 EIma6531 ?? EIma232 ??311 1maEI???? 322 1maEI????3．求主振型 11613265)1()2(1211111 ????????mmAA11613221)1()2(1211222 ?????? ? ?? m mAA第一主振型 １ １ １ １ 第二主振型 m m a a a (EI=常數(shù) ) 1 2 12112,1 ??? ??例 2（ 0 03級(jí)試題 ）（與作業(yè) 4第二題 2雷同 ). 求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率 EI=9600 ， m=2kg 。 Ｐ =1(移動(dòng) ) Ｃ Ｄ Ｍ C的影響線 Ａ Ｂ ⊕ yC ⊕ yD Ｐ作用在 C處時(shí)的Ｍ圖 Ｐ (固定 ) Ｃ Ｄ yC yD yC： P=1移至 C截面時(shí)， C截面的彎矩值； yD： P=1移至 D截面時(shí)， C截面的彎矩值。 ，可求出具體的縱標(biāo)值； 而超靜定梁的影響線是曲線，只能用機(jī)動(dòng)法繪出其影響線的輪廓。（有時(shí)臨界荷載不止一個(gè)） 二 . 熟記簡(jiǎn)支梁影響線的畫法 (最基本的 ) B Ｐ =1(移動(dòng) ) Ｃ A a b l ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 lab1 lbla⊕ RA影響線 RB影響線 MC影響線 QC影響線 注意 :、負(fù)號(hào)及縱標(biāo)值的標(biāo)注 。 三 . 會(huì)用機(jī)動(dòng)法繪制靜定梁影響線（ 可參考教材例題 ) 1. 機(jī)動(dòng)法的原理 : 虛位移原理 . 2. 機(jī)動(dòng)法繪制靜定結(jié)構(gòu)某量值 X影響線的步驟 : ⑴ 去掉與所求量值 X相應(yīng)的約束 ，以 X代之，使體系轉(zhuǎn)為具有一個(gè)自由度的機(jī)構(gòu)； ⑵ 使所得的機(jī)構(gòu)沿 X的正方向發(fā)生相應(yīng)單位虛位移（ δX=1）； ⑶ 由此得到的剛體虛位移圖 (δP圖）即為所求的影響線， 若位移圖在基線上側(cè)，則影響線的豎標(biāo)取正號(hào)，反之取