高考數(shù)學(xué)立體幾何大題30題-閱讀頁
2025-05-02 13:17本頁面
【正文】 ，h），∴，由CF⊥DE，得，解得h=2. （2）連CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，連CG，由三垂線定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=，從而DG=∴tan∠CGD=，故二面角C—AF—B大小為arctan.22．如圖，正方體，棱長為a，E、F分別為AB、BC上的點，且AE＝BF＝x． （1）當(dāng)x為何值時，三棱錐的體積最大？ ?。?）求三棱椎的體積最大時，二面角的正切值； ?。?）（理科做）求異面直線與所成的角的取值范圍．（1），當(dāng)時，三棱錐的體積最大．?。?）取EF中點O，由，所以就是二面角的平面角．在Rt△中．?。?）在AD上取點H使AH＝BF＝AE，則，所以（或補角）是異面直線與所成的角在Rt△中，在Rt△中，在Rt△HAE中，在△中，因為，所以，23． 已知，如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體P—BCG的體積為.（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成的角；（Ⅱ）求點D到平面PBG的距離；（Ⅲ）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值.解法一： （I）由已知∴PG=4…………2′如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標(biāo)系o—xyz，則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）∴異面直線GE與PC所成的角為arccos……………………4′（II）平面PBG的單位法向量∴點D到平面PBG的距離為……………………8′（III）設(shè)F（0，y , z）在平面PGC內(nèi)過F點作FM⊥GC，M為垂足，則……………………………………………………………………12′解法二： （I）由已知∴PG=4…………2′在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH//EG交AD于H，連結(jié)PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角.………………3′在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴異面直線GE與PC所成的角為arccos……………………4′（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD在平面ABCD內(nèi)，過D作DK⊥BG，交BG延長線于K，則DK⊥平面PBG∴DK的長就是點D到平面PBG的距離…………………………6′在△DKG，DK=DGsin45176。cos45176。23＝…………即SBCEMBC＝2∴d＝ ………………………………………………………………………………1解法2： 設(shè)，的法向量為＝（x，y，z）則，?。剑?，1，2）……………………………………………………………………………8′∴異面直線CM與D1N的距離d＝ ……………………………12′25．如圖，四棱錐P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，點M、N分別在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.（Ⅰ）求證：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大?。唬á螅┣笾本€CD與平面AMN所成角的大小. （I）證明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAD……………………………………3分∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.∴AM⊥平面PCD.∴AM⊥PD.…………………………………………5分 （II）解：∵AM⊥平面PCD（已證）.∴AM⊥PM，AM⊥NM.∴∠PMN為二面角PAMN的平面角.…………………………7分∵PN⊥平面AMN，∴PN⊥NM.在直角△PCD中，CD=2，PD=2，∴PC=2.∵PA=AD，AM⊥PD，∴M為PD的中點，PM=PD=由Rt△PMN∽Rt△PCD，得 ∴.…………10分即二面角P—AM—N的大小為. （III）解：延長NM，CD交于點E.∵PC⊥平面AMN，∴NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影∴∠CEN為CD（即（CE）與平在AMN所成的角.…………12分∵CD⊥PD，EN⊥PN，∴∠CEN=∠MPN.在Rt△PMN中，∴CD與平面AMN所成的角的大小為…………15分26．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，D為棱CC1上的一動點，M、N分別為的重心．（1）求證：； （2）若二面角C—AB—D的大小為，求點C1到平面A1B1D的距離； （3）若點C在上的射影正好為M，試判斷點C1在的射影是否 為N？并說明理由．解：（1）連結(jié)并延長，分別交于，連結(jié)，分別為的重心，則分別為的中點 在直三棱柱中，（2）連結(jié)即為二面角的平面角在中，PQ 連結(jié)同上可知，設(shè)（3）PQCC1DNM ∽ .（另解）[9(B)]空間向量解法：以C1為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系。 即（舍） 因為D為CC1的中點，根據(jù)對稱性可知C1在平面A1B1D的射影正好為N。BAPCFDOEPAECDFB（1） 求證：面AEF面BCD；（2） 為何值時，ABCD。（2）過A作AP面BCD于P，則P在FE的延長線上，設(shè)BP與CD相交于Q，令A(yù)B=1，則ABD 是邊長為1的等邊三角形，若ABCD，則BQCDPE=AE=又AE= 折后有cosAEP== 由于AEF=就是二面角A－BD－C的平面角， 當(dāng)=－arccos時，ABCD28．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1 中，側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC， 側(cè)棱AA1與底面ABC成600的角， AA1= 2．底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心 為G點。＝０及ｎ∴AC⊥平面PBC…………4分又AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC…………5分 （2）解：設(shè)FE的延長線與AC的延長線交于M，連MB，則MB為平面BEF與平面ABC的交線…………6分在平面PCA中，由已知E是PC的中點，F(xiàn)是PA的四等分點，…………7分取BC的中點H，則EH//PB， ∴EH⊥底面ABC…………8分過H作HO⊥MB于O，由三垂線定理，EO⊥MB則∠EOH為平面BEF與底面ABC所成二面角的平面角…………9分在，在…………10分…………11分即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為…………12分若利用面積射影法，指出△HDB是△EFB在底面ABC上的射影，并計算出其面積…………7分 計算出…………10分…………11分即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為…………12分30．三棱錐中，底面△是頂角為、的等腰△，側(cè)面與底面所成二面角為、分別為和的中點(1)求證無論，為何值時，點到截面的距離為定值(2)求三棱錐的體積 (理)(1)∵、為中點，∴∥，∴∥面 ∴到截面的距離為到截面的距離. 又∴∵∴∴面∴到截面的距離為即到截面的距離為(2)由(1)知,又 ∴到的距離為∴
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