立體幾何高考真題大題-閱讀頁
2025-05-02 07:37本頁面
【正文】 再在中計算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空間直角坐標系，再計算平面和平面的法向量，進而可得二面角的平面角的余弦值．試題解析：（Ⅰ）延長，相交于一點，如圖所示．因為平面平面，且，所以，平面，因此，．又因為，所以為等邊三角形，且為的中點，則．所以平面．（Ⅱ）方法一：過點作，連結(jié)．因為平面，所以，則平面，所以．所以，是二面角的平面角．在中，得．在中，得．所以，二面角的平面角的余弦值為．方法二：如圖，延長，相交于一點，則為等邊三角形．取的中點，則，又平面平面，所以，平面．以點為原點，分別以射線，的方向為，的正方向，建立空間直角坐標系．由題意得，．因此，．設平面的法向量為，平面的法向量為．由，得，?。挥?，得，?。谑牵?，二面角的平面角的余弦值為．考點：線面垂直；二面角．【方法點睛】解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線．8．（2016年高考四川理數(shù)）如圖，在四棱錐PABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90176。BC=CD=AD，E為邊AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90176。求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）探索線面平行，根據(jù)是線面平行的判定定理，先證明線線平行，再得線面平行，而這可以利用已知的平行，易得CD∥EB；從而知為DC和AB的交點；（Ⅱ）求線面角，可以先找到這個角，即作出直線在平面內(nèi)的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知圖形中的垂直建立空間直角坐標系，用向量法求出線面角（通過平面的法向量與直線的方向向量的夾角來求得）．試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行．延長AB，DC，相交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED．所以四邊形BCDE是平行四邊形．，所以CD∥EB從而CM∥EB．又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE．（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD．從而CD⊥PD．所以∠PDA是二面角PCDA的平面角．所以∠PDA=45176。AE=1，所以AH=．在Rt△PAH中，PH== ，所以sin∠APH= =．方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD．于是CD⊥PD．從而∠PDA是二面角PCDA的平面角．所以∠PDA=45176。（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線與所成的角的大
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