應(yīng)用泛函分析教案2-閱讀頁(yè)
2025-05-01 22:48本頁(yè)面
【正文】 是中的柯西點(diǎn)列. 0，成立 . (4)所以，有. 于是當(dāng)固定時(shí)，(復(fù))數(shù)集的完備性，.. 往證，實(shí)因在(4)中令，得知時(shí)，成立 . (5)所以在上一致收斂于，從而. 由(5)，當(dāng)時(shí)，=. 所以 ，故是完備度量空間. 令表示閉區(qū)間上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體,作為的子空間是不完備的度量空間. 實(shí)因多項(xiàng)式列 在閉區(qū)間上一致收斂于連續(xù)的指數(shù)函數(shù)，但非多項(xiàng)式. 即不是的閉子空間. 由Th 1，不是完備度量空間. 證畢. 設(shè)表示閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)全體，對(duì)，令 =.易知成為度量空間. 實(shí)因 顯然 0. 若時(shí)，從而=0. 反之若=0，即=0. 因0，故= 于. 又因相等的連續(xù)函數(shù)必然處處相等，故. 總之0且=0. =+ =+.所以是度量空間.例5 上面定義的度量空間不完備.證明 令 =先證是中的柯西點(diǎn)列. 實(shí)因，當(dāng)時(shí)，===. 所以點(diǎn)列是中的柯西點(diǎn)列. 再證點(diǎn)列在中不收斂. 實(shí)因?qū)γ總€(gè)，==++. 若0, 必有 ==0. 但由于在閉區(qū)間上連續(xù)，得在恒為0，在恒為1. 與在=間斷相矛盾. 故是不完備的度量空間. 作業(yè)： 206. 15.、離散空間. 作業(yè)解答： 設(shè)是中的基本點(diǎn)列，0，有=. 0，. ，有. 從而. 所以 0 . 由此可找到自然數(shù)列：，. 對(duì)都成立. 記=, 再令=，則 =，=. 令，得=0. 所以=. 顯見在上處處收斂于一個(gè)極限函數(shù)，記這個(gè)極限函數(shù)為. 令 =則為上的可測(cè)函數(shù)，故. 當(dāng)時(shí)，由 =，令，由勒貝格有界收斂定理，得 . 所以. 故是完備的度量空間.167。 取的其它值時(shí)，是線性的. 后面證明略.167。 1, 是完備度量空間. 令 =， (7)則是到中的映照. 實(shí)因 ，若，則當(dāng)時(shí)，又因在上二元連續(xù)，所以(7)式右邊積分有意義. 又對(duì)，成立 =，所以當(dāng)時(shí)，. 是壓縮映照. 實(shí)因由Lipschitz條件(4)，對(duì)中任意兩點(diǎn)和，有 =. 令=，則01，且 =. 即是上的壓縮映照. 由Th 1，存在唯一，.，即 =， (8)且. 兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 . 故是方程 =的解. 若又有也是方程 = 滿足初值條件的解，則因=，所以且是不動(dòng)點(diǎn)，所以=. 作業(yè)： ，是到自身映照， ，有. 證明映照在中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn). 作業(yè)提示：令 =，. ，因?yàn)? =. 所以時(shí)必有. 即在連續(xù). 所以存在，. =. 顯然0. 往證=0. 用反證法，設(shè)0，則由，== 與=矛盾. 所以=0. 于是==0，有=. 即為之不動(dòng)點(diǎn). 因?yàn)椋? ， 只要，就有，從而必有，所以不動(dòng)點(diǎn)唯一.
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