【正文】 函數(shù) （D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù) （第12屆希望杯）課后練習(xí)1．函數(shù)是定義在上的實(shí)函數(shù)，它既關(guān)于對(duì)稱，又關(guān)于對(duì)稱，那么的周期是（ ）（A） （B） （C） （D） 2．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）（A） （B） （C） （D） （2007年重慶高考）3．定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，則可能為（ ）（A）0 （B）1 （C）3 （D）5 （2007年安徽高考）4．定義在上的函數(shù)，它具有下述性質(zhì)：（1）對(duì)任何，都有；（2）對(duì)任何，都有．則的值為（ ）（A）0 （B）1 （C） （D）不確定5．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，則 ． 6．函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． （第5屆希望杯）7．定義在上的函數(shù)，恒有．若，那么 ．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，并?duì)一切實(shí)數(shù)，都滿足．（1）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．（2）若又是偶函數(shù)，且時(shí)，求時(shí)的的表達(dá)式．9．設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間上，只有．（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論． （2005年廣東高考）第三章：數(shù)列167。④設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …, Spm－S(p－1)m(m1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差數(shù)列；⑤設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則是等差數(shù)列；⑥設(shè){an}是等差數(shù)列，則{λan+b}(λ,b是常數(shù))是等差數(shù)列；⑦設(shè){an}與{bn}是等差數(shù)列，則{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常數(shù)）也是等差數(shù)列；⑧設(shè){an}與{bn}是等差數(shù)列，且bn∈N*，則{abn}也是等差數(shù)列（即等差數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列）；⑨設(shè){an}是等差數(shù)列，則{}（c0, c≠1）是等比數(shù)列.2．等比數(shù)列（1）定義：（2）通項(xiàng)公式：an=a1qn－1.（3）前n項(xiàng)和公式：（4）等比中項(xiàng)：（5）任意兩項(xiàng)：an=amqn－m.（6）無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式： S=（7）性質(zhì)： ①設(shè){an}是等比數(shù)列，如果m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，那么amaq；②設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …，Spm－S(p－1)m(m1, p≥3，m、n∈N*)仍為等比數(shù)列；③設(shè){an}是等比數(shù)列，則{λan}（λ是常數(shù)）、{}（m∈Z*）仍成等比數(shù)列；④設(shè){an}與{bn}是等比數(shù)列，則{an三個(gè)角可設(shè)為60176。, 60176。.【方法1】由余弦定理，得整理得(a－c)2=0因此a=c.故△ABC為正三角形.【方法2】設(shè)a、b、c三邊依次為a、aq、aq2，由余弦定理有cosB=,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1, q=－1（舍去）所以a=b=c,故此△ABC為正三角形.【方法3】因?yàn)閎2=ac, 由正弦定理：(2RsinB)2=2RsinAsinC，把B=60176。sinC=，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,所以A=C，且∠B=60176。－d, 60176。+d代入sin2B=sinAsinC, 得sin(60176。sin(60176。]= .得cos2d=1, d=0176。q2=q2,所以q=,于是有 解此方程組，得d=,a11=.對(duì)于任意的1≤k≤n,有【評(píng)述】數(shù)列求和應(yīng)先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)=anbn，其中{an}成等差為九列，{bn}為等比數(shù)列，數(shù)列{}的求和用錯(cuò)項(xiàng)相減去.例6 將正奇數(shù)集合{1，3，5，…}從小到大按第n組有(2n－1)奇數(shù)進(jìn)行分組：{1}, {3,5,7} , {9, 11, 13, 15, 17}, … （第1組）（第2組）（第3組）問1991位于第幾組中？（1991年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）【思路分析】思路需要寫出第n組的第1個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)，1991介于其中，而第n組中最后一個(gè)數(shù)是第（1+3+…+2n－1）=n2個(gè)奇數(shù)為2n2－1.【解】因?yàn)?+3+5+…+(2n－1)=n2所以前n組共含有奇數(shù)n2個(gè)，第n組最后一個(gè)數(shù)即第n2個(gè)奇數(shù)為2n2－1,第n組第一個(gè)數(shù)即第n－1組最后一個(gè)數(shù)后面的奇數(shù)為[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+，有不等式2(n－1)2+1≤1991≤2n2－1.解得(n－1)2≤995且n2≥996，從而n≤32且n≥32，故n=32，即1991位于第32組中.【評(píng)述】應(yīng)用待定的方法，假定位于第n組中然后確定n即可.例7 設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和，證明（1995年全國(guó)高考題）【思路分析】要證原結(jié)論成立，只需證SnSn+2成立，用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式表示或建立Sn、Sn+Sn+2的關(guān)系，用比較法證之.【證法1】設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)知a10, q0.（1）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1，從而 SnSn+2－=na1(n+2)a1－(n+1)2=－0.（2）當(dāng)q≠1時(shí)， 由①、②知根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得【證法2】設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)知a10, q0.因?yàn)镾n+1+=a1+qSn, Sn+2=a1+qSn+1, 所以SnSn+2－=Sn(a1+qSn+1)－(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn－Sn+1) =－a1(Sn+1－Sn) =－a1an+10.即（以下同證法1）.【評(píng)述】明確需要證，建立Sn、Sn+Sn+2之間的關(guān)系較為簡(jiǎn)單.針對(duì)性訓(xùn)練題1．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a13, 且a10, Sn為其前n項(xiàng)之和，求Sn(n∈N*)中最大的是什么？（1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）2．一個(gè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2－5，它的前11項(xiàng)的幾何平均數(shù)為25，若在前11項(xiàng)中抽出一 項(xiàng)后的幾何平均數(shù)為24，求抽去的是第幾項(xiàng)？3．已知a1, a2 , a3,…, an是n個(gè)正數(shù)，滿足a1…　 確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)于研究數(shù)列的性質(zhì)起著至關(guān)重要的作用。 基礎(chǔ)知識(shí) 定義：對(duì)于任意的，由遞推關(guān)系確定的關(guān)系稱為階遞歸關(guān)系或稱為階遞歸方程，由階遞歸關(guān)系及給定的前項(xiàng)的值(稱為初始值)所確定的數(shù)列稱為階遞歸數(shù)列。求遞歸數(shù)列的常用方法：一．公式法(1)設(shè)是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，則其通項(xiàng)為；(2)設(shè)是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則其通項(xiàng)為；(3)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則。 （1）若特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定；（2）若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定。所以，所以(1)當(dāng)時(shí)，則其通項(xiàng)公式為，其中，；(2)當(dāng)時(shí)，則其通項(xiàng)公式為，其中五．代換法代換法主要包括三角代換、分式代換與代換相消等，其中代換相消法可以解決以下類型五：已知，求通項(xiàng)。類型六：(1)已知，且，求通項(xiàng)； (2)已知，求通項(xiàng)；七．?dāng)?shù)學(xué)歸納法八．構(gòu)造法典例分析例1．?dāng)?shù)列{an}中，a1=1,an+1an,且成立，求。例3．已知數(shù)列{an}滿足：，求。例5．已知，求。例7．已知，求。例9．已知，求的通項(xiàng)公式。例11．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，求的通項(xiàng)公式。(參考答案：，其中)例12．設(shè)數(shù)列滿足：，且，證明：(……)是完全平方數(shù)?；A(chǔ)知識(shí) 對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的問題，我們有時(shí)可以用遞推法解決，扎謂用遞推法解題，就是根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造出遞推關(guān)系解題的一種方法，解決問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造遞推關(guān)系。利用遞推法解題的一般步驟為：(1)確定初始值；(2)建立遞推關(guān)系；(3)利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)?！〖从勺匀粩?shù)中第n個(gè)數(shù)加上1，就是第n+1個(gè)數(shù)?！　∫肭蟪?00條直線最多能把圓內(nèi)分成多少區(qū)域，就去求通項(xiàng)公式。 “河內(nèi)塔問題”傳說在印度的佛教圣地貝拿勒斯圣廟里安放著個(gè)一個(gè)黃銅板，板上插著三根寶石針，在第一根寶石針上，：，“世界末日”問題（也稱為“Hanoi塔”問題），當(dāng)然，移金片和世界毀滅并無聯(lián)系，這只是一個(gè)傳說而已，？將此問題一般化為：設(shè)有個(gè)銀圈，大小不同，從大到小排列在三根金棒中的一根。第三根金棒作為銀圈暫時(shí)擺放用。解：令用表所求的搬動(dòng)次數(shù)，把第一棒個(gè)銀圈的個(gè)搬到第三棒，再將最大一個(gè)銀圈搬到第二棒，然后又將第三棒上的個(gè)圈搬到第二棒上，如此繼續(xù)，可完成這次搬動(dòng)任務(wù)。下面對(duì)遞推式的求解。典例分析例1．用100元人民幣購(gòu)買物品，規(guī)定每天只能用以下三種方式之一購(gòu)買物品： (1)買甲物品1元；(2)買乙物品2元；(3)買丙物品2元 而且規(guī)定不允許不買物品。一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子跳動(dòng)一次：若擲出的是正面，棋子向前跳兩站，若擲出的是反面，則棋子向前跳一站，直到棋子恰好跳到第99站(勝利大本營(yíng))或第100站(失敗大本營(yíng))時(shí)，游戲結(jié)束。例3．現(xiàn)有四個(gè)人做傳球游戲，要求接球后馬上傳給別人。例4．(BernoulliEuler裝錯(cuò)信問題)某人寫了n封信，并在每個(gè)信封上寫下了對(duì)應(yīng)的地址和收信人的姓名。例7．已知函數(shù)，數(shù)列是公差為等差數(shù)列，數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，且，；。例8．已知一列非零向量滿足：，()(1)證明：{||}是等比數(shù)列；(2)求向量與向量的夾角；(3)設(shè)向量，把，……，中所有與共線的向量取出按原來的順序排成一列，組成一組新數(shù)列，記為：，……，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；若令=++…+，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)列的坐標(biāo)。 (II)若函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象,求實(shí)數(shù)的值.問題3(1)當(dāng),函數(shù)的最大值是 ,最小值是 . (2)函數(shù)的最大值是 . (3)當(dāng)函數(shù)取得最小值時(shí),的集合是 . (4)函數(shù)的值域是 .問題4已知中,分別是角的對(duì)邊,且,=,求角A.三 習(xí)題探討選擇題1在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為,那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A,1 B, C, D,2已知是第二象限角,其終邊上一點(diǎn)P(),且,則=A, B, C, D,3函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是A, B, C, D,4已知向量,向量,向量,則向量與向量的夾角的取值范圍是A, B, C, D,5已知,且與的夾角為鈍角,則的取值范圍是A, B, C, D,6若是三角形的最小內(nèi)角,則函數(shù)的值域是A, B, C, D,填空題7已知,則= .8復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第 象限.9若,則= .10與向量和的夾角相等,且長(zhǎng)度為的向量 .11在復(fù)數(shù)集C內(nèi),方程的解為 .解答題12若,求函數(shù)的最小值,并求相應(yīng)的的值.13設(shè)函數(shù),若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.14設(shè),且,復(fù)數(shù)滿足,求的最大值與最小值勤.15已知向量,且(I)求及。 (II)令,求函數(shù)的極值.參考答案:問題1證明:由,且得= ①在①中以代換得=.即.溫馨提示:,可簡(jiǎn)捷地解決一些三角,平幾,立幾,解幾等問題.問題2解:(I)可得由=1,得又,得,有=,解得.(II)函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù),=的圖象.而,有,.問題3解:(1)而,有,當(dāng),即時(shí),。②當(dāng)時(shí),為減函數(shù).=,而,于是的最大值是.(3) 當(dāng),即時(shí),.(4)可得,有得,有,得,又,于是有的值域是.問題4解:由已知得,即,又得,.又得由余弦定理.得,.由正弦定理得,有.又,得為最大角.又,有,于是.所以得.習(xí)題:1得,選D.2 ,又,得或(舍去),有,選A.3它的對(duì)稱軸為:,即,有,選A.4(數(shù)形結(jié)合)由,知點(diǎn)A在以(2,2)為圓心,為半徑的圓周上(如圖),過原點(diǎn)O作圓C的切線,為切點(diǎn),由,知,有,過點(diǎn)O作另一切線,為切點(diǎn),則,選D.5由,設(shè)與的夾角為,則,有,即,得,有,選A.6由,令而,得.又,得,得,有,選D.7顯然且,有,當(dāng)時(shí),有,于是,得,則得到,當(dāng)時(shí),同理可得.8 ,它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.9由,得,有,即.則,原式=.10設(shè),則,.設(shè)與,的夾角分別為,則