【正文】 數(shù)學競賽講義 目錄第一章 集合…………………………………………2第二章 函數(shù)…………………………………………15167。 函數(shù)及其性質(zhì)………………………15167。 二次函數(shù) ………………………21167。 函數(shù)迭代 ………………………28167。 抽象函數(shù) ………………………32第三章 數(shù)列…………………………………………37167。 等差數(shù)列與等比數(shù)列……………………37167。 遞歸數(shù)列通項公式的求法 ………………44167。 遞推法解題………………………………48第四章 三角 平面向量 復數(shù)………………………51第五章 直線、圓、圓錐曲線………………………60第六章 空間向量 簡單幾何體………………………68第七章 二項式定理與多項式………………………75第八章 聯(lián)賽二試選講 ………………………82167。 平幾名定理、名題與競賽題 ……82167。 數(shù)學歸納法 ………………………99167。 排序不等式 ………………………103第一章 集合集合是高中數(shù)學中最原始、最基礎的概念，也是高中數(shù)學的起始單元，：集合思想、集合語言和集合的符號在高中數(shù)學的很多章節(jié)如函數(shù)、數(shù)列、方程與不等式、，也是支撐現(xiàn)代數(shù)學大廈的基石之一，本章主要介紹集合思想在數(shù)學競賽中出現(xiàn)的問題.167。 集合的概念與運算【基礎知識】一．集合的有關(guān)概念1．集合：具有某些共同屬性的對象的全體，.2．集合中元素的三個特征：確定性、互異性、無序性.3．集合的分類：無限集、有限集、空集.4. 集合間的關(guān)系：二．集合的運算1．交集、并集、補集和差集差集：記A、B是兩個集合，.(1),(冪等律)。(2), (交換律)。(3), (結(jié)合律)。(4),(分配律)。(5),(吸收律)。(6)(對合律)。(7), (摩根律)(8),.(1)兩個集合中元素相同,即兩個集合中各元素對應相等。(2)利用定義,證明兩個集合互為子集。(3)若用描述法表示集合,則兩個集合的屬性能夠相互推出(互為充要條件),即等價。(4)對于有限個元素的集合,則元素個數(shù)相等、各元素的和相等、各元素之積相等是兩集合相等的必要條件.【典例精析】【例1】在集合中,任意取出一個子集, .〖分析〗,即對所有的求和,可得【解】集合的所有子集的元素之和為=〖說明〗.【例2】已知集合且,求參數(shù)的取值范圍.〖分析〗首先確定集合A、B,再利用的關(guān)系進行分類討論.【解】由已知易求得當時,由知無解。當時,顯然無解。 當時, ,由解得綜上知,參數(shù)的取值范圍是.〖說明〗本題中,集合的定義是一個二次三項式,那么尋于集合B要分類討論使其取值范圍數(shù)字化,才能通過條件求出參數(shù)的取值范圍.【例3】已知,則的值是( ) 【解】,且及集合中元素的互異性知,即,此時應有而,從而在集合B中,由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也滿足(1)式.〖說明〗本題主要考查集合相等的的概念,如果兩個集合中的元素個數(shù)相等,.【例4】,求……+的值.〖分析〗從集合A=B的關(guān)系入手,則易于解決.【解】,根據(jù)元素的互異性,由B知.且,故只有,從而又由及,得所以或,其中與元素的互異性矛盾!所以代入得:……+=()+2+()+2+……+()+2=0.〖說明〗本題是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本題利用的是集合相等的必要條件,即兩個集合相等,則兩個集合中,各元素之和、.【例5】已知A為有限集,且,滿足集合A中的所有元素之和與所有元素之積相等,寫出所有這樣的集合A. 【解】設集合A=且,由,得,即或(事實上,當時,有.當時,而當時,由,解得綜上可知,〖說明〗本題根據(jù)集合中元素之間的關(guān)系找到等式,應注意分析題設條件中所給出的信息,根據(jù)條件建立方程或不等式進行求解.【例6】已知集合,若,求實數(shù)的取值組成的集合A.【解】,設.①當,即時,滿足。②當,即或時, 若,則,不滿足,故舍去。 若時,則,滿足.③當時,滿足等價于方程的根介于1和2之間.即.綜合①②③得,即所求集合A.〖說明〗先討論特殊情形(S=),【例7】(2005年江蘇預賽)已知平面上兩個點集 R}, R}. 若 , 則 的取值范圍是．【解】由題意知 是以原點為焦點、直線 為準線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點集， 是以 為中心的正方形及其內(nèi)部的點集(如圖)．考察 時, 的取值范圍:令 , 代入方程 ,得 ，解出得 ． 所以，當 時, ． ………… ③令 ，代入方程 , 得 . 解出得．所以，當 時, ． ………… ④因此, 綜合 ③ 與 ④ 可知，當 ，即 時, ．故填 .【例8】已知集合,其中,.若,.且中的所有元素之和為124,求集合A、B.【解】,且,又,所以又,可得,并且或若,即,則有解得或(舍)此時有若,即,此時應有,.綜上可得, 〖說明〗本題的難點在于依據(jù)已知條件推斷集合A、,將問題分為多個部分,每一部分的難度比整體都要低,這樣就使問題變得簡單明了.【例9】滿足條件的函數(shù)形成了一個集合M,其中,并且,求函數(shù)與集合M的關(guān)系.〖分析〗求函數(shù)集合M的關(guān)系,即求該函數(shù)是否屬于集合M,也就是判斷該函數(shù)是否滿足集合M的屬性.【解】取時, 由此可見,〖說明〗,只要找至一個或幾個特殊的使得不符合M中的條件即可證明【例10】對集合及每一個非空子集定義唯一“交替和”如下:把子集中的數(shù)按遞減順序排列,然后從最大數(shù)開始,交替地加減相繼各數(shù),如的“交替和”是,集合的“交替和”是10－7=3,集合的“交替和”“交替和”“交替和”.〖分析〗集合A的非空子集共有個,顯然,要想逐個計算“交替和”“交替和”的特點,{1,2,3,4}的非空子集共有15個,共“交替和”分別為:{1} 1。{2} 2 。{3} 3。{4} 4。{1,2} 21。 {1,3} 31。{1,4} 41。{2,3} 32。{2,4} 42。{3,4} 43。{1,2,3} 32+1。{1,2,4} 42+1。{1,3,4} 43=1。{2,3,4} 43+2。{1,2,3,4} 43+“交替和”可以發(fā)現(xiàn),除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分為兩類:一類中包含4,另一類不包含4,并且構(gòu)成這樣的對應:設是{1,2,3,4}中一個不含有的子集,令與相對應,顯然這兩個集合的“交替和”的和為4,由于這樣的對應應有7對,再加上{4}的“交替和”為4,即{1,2,}的所有子集的“交替和”為32.【解】集合的子集中,除了集合,:第一類是含2008的子集,第二類是不含2008的子集,則必有是第一類的集合。如果是第一類中的集合,則中除2008外,還應用1,2,……,2007中的數(shù)做其元素,即中去掉2008后不是空集,“成對的”集合的“交替和”求出來,都有2008,從而可得A的所有子集的“交替和”為同樣可以分析,因為個元素集合的子集總數(shù)為個(含,定義其“交替和”為0),其中包括最大元素的子集有個,不包括的子集的個數(shù)也是個,將兩類子集一一對應(相對應的子集只差一個元素),設不含的子集“交替和”為S,則對應的含子集的“交替和”為,“交替和”為〖說明〗本題中＂退到最簡＂,從特殊到一般的思想及分類討論思想、對應思想都有所體現(xiàn),這種方法在數(shù)學競賽中是常用的方法,在學習的過程中應注意強化.【例11】一支人數(shù)是5的倍數(shù)的且不少于1000人的游行隊伍，若按每橫排4人編隊，最后差3人；若按每橫排3人編隊，最后差2人；若按每橫排2人編隊，最后差1人，求這支游行隊伍的人數(shù)最少是多少？〖分析〗已知游行隊伍的總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)，那么可設總?cè)藬?shù)為.“按每橫排4人編隊，最后差3人”，從它的反面去考慮，可理解為多1人，同樣按3人、2人編隊都可理解為“多1人”，、2除時都余地，即是12的倍數(shù)，再由總?cè)藬?shù)不少于1000人的條件，即可求得問題的解.【解】設游行隊伍的總?cè)藬?shù)為，則由題意知分別被2除時均余1，即是2的公倍數(shù)，于是可令，由此可得： ①要使游行隊伍人數(shù)最少，則式①中的應為最少正整數(shù)且為5的倍數(shù)，由此可得：， ②所以，.取代入②式，得故游行隊伍的人數(shù)最少是1045人.〖說明〗本題利用了補集思想進行求解，對于題目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等詞語，可以根據(jù)補集思想方法，從詞義氣反面（反義詞）考慮，對原命題做部分或全部的否定，用這種方法轉(zhuǎn)化命題，常常能起到化繁為簡、化難為易的作用，使之尋求到解題思想或方法，實現(xiàn)解題的目的.【例12】設且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，且={1，2，3，…，}.證明：或者中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù).【證明】由題設，{1，2，3，…，}的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一. 假設結(jié)論不真，則存在如題設的{1，2，3，…，}的真子集，使得無論是還是中的任兩個不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù). 不妨設1∈，則3，否則1+3=，與假設矛盾，所以3∈.同樣6，所以6∈，這時10，即10∈.因≥15，而15或者在中，或者在中，但當15∈時，因1∈，1+15=，矛盾；當15∈時，因10∈，于是有10+15=，,即結(jié)論成立.【賽向點撥】，深刻理解集合的概念,所以抓好概念的理解和應用尤其重要.,一是考查集合本身的知識。二是考查集合語言和集合思想的應用.,要正確理解其含義,弄清元素是什么,具有怎樣的性質(zhì)?這是解決集合問題的前提.,所以在競賽中,集合題是普遍而又基本的題型之一.【針對練習】(A 組)1.(2006年江蘇預賽) 設在平面上，所圍成圖形的面積為，則集合的交集所表示的圖形面積為( ) A. B. C. D.2. (2006年陜西預賽)為實數(shù),集合M=表示把集合M中的元素映射到集合P中仍為,則的值等于( ) A. D.3. (2004年全國聯(lián)賽)已知M=，N=，若對于所有的，均有則的取值范圍是A．[] B.（）C.（） D.[]4. (2005年全國聯(lián)賽) 記集合將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個數(shù)是（　　　?。〢． B． C．　 D．5. 集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，當且僅當A≠B時，(A,B)與(B,A)視為不同的對，則這樣的(A,B)對的個數(shù)有( ) . ={n|100≤n≤600,n∈N}，則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個數(shù)為______________.7. 已知,.若,則實數(shù)的取值范圍是 .8. 設M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且滿足條件: 當x∈A時,15xA，則A中元素的個數(shù)最多是_______________.9. (2006年集訓試題)設n是正整數(shù)，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整數(shù)k，使得對于M的任何一個k元子集，其中必有4個互不相同的元素之和等于 10. 設＝{|＝,}，求證：⑴∈()；　　　?、?11.（2006年江蘇）設集合，．若，求實數(shù)的取值范圍．12. 以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：①中的元素有正數(shù)，有負數(shù)；②中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；③－1；④若，∈,則＋∈試判斷實數(shù)0和2與集合的關(guān)系. (B 組)1. 設為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：①若∈，∈，則+∈，；②對任一個有理數(shù)，三個關(guān)系∈，－∈，＝：是由全體正有理數(shù)組成的集合.2．為非空集合，對于1，2，3的任意一個排列，若，則（1） 證明：三個集合中至少有兩個相等.（2） 三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？3．已知集合：問（1） 當取何值時，為含有兩個元素的集合？（2） 當取何值時，為含有三個元素的集合？4．已知,.⑴請根據(jù)自己對點到直線的距離,兩條異面直線的距離中 “距離”的認識,給集合A與B的距離定義。⑵依據(jù)⑴中的定義求出與的距離.｛不小于３的正整數(shù)｝，定義Ｐ上的函數(shù)如下：若，定義為不是的約數(shù)的最小正整數(shù)，：6．為了搞好學校的工作，且任何兩個班級都至少有一條建議相同，.【參考答案】A組： 在xOy平面上的圖形關(guān)于x軸與y軸均對稱，，的圖形在第一象限的面積為A＝.因此的圖形面積為. 所以選B.:由M=P,從而,即,故從而選C.3. 解：相當于點（0，b）.: 用表示k位p進制數(shù)，將集合M中的每個數(shù)乘以，得 ，從2400起從大到小順序排列的第2005個數(shù)是2400－2004=，便得M中的數(shù)故選C.：A=φ時，有1種可能；A為一元集時，B必須含有其余2元，共有6種可能；A為二元集時，；A為三元集時，+6+12+8=.6．解：被7除余2的數(shù)可寫為7k+2. 由100≤7k+2≤≤k≤85. 又若某個k使7k+2能被57整除，則可設7k+2=57n. 即. 即n－2應為7的倍數(shù). 設n=7m+2代入，得k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85. ∴m=0,－(1