【正文】 服從上的均勻分布，的特征函數(shù)為，則是的特征函數(shù)。證：柯西分布的特征函數(shù)故的特征函數(shù)為所以與同分布。解：分布，；，的特征函數(shù)。 設(shè)二維隨機(jī)變量具有聯(lián)合密度函數(shù)為證明：的特征函數(shù)等于的特征函數(shù)的乘積，但是并不相互獨(dú)立。由，故與不互相獨(dú)立。解：（1）不是，因?yàn)椤? （3）不是，因?yàn)椴怀闪? （4）不是，因?yàn)椤５谒恼?大數(shù)定律與中心極限定理 設(shè)分布函數(shù)如下定義：問是分布函數(shù)嗎？解：不是。證：對任意的，取充分大，使有對上述取定的，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，故可取它的分點(diǎn)：，使有，再令，則有 （1）這時存在，使得當(dāng)時有 （2）成立，對任意的，必存在某個，使得，由（2）知當(dāng)時有 （3） （4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，結(jié)論得證。證：對任意的有，故即對任意的有成立，于是有從而成立，結(jié)論得證。證：（1）因?yàn)楣始闯闪?。對任給的取足夠大，使有成立，對取定的，存在，當(dāng)時有成立這時有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述（1）有故，結(jié)論成立。必要性，對任給的，令，因?yàn)椋蚀嬖诔浞执蟮氖沟卯?dāng)時有，于是有 ，由的任意性知，結(jié)論為真。，且存在，數(shù)學(xué)期望為零，證明。 設(shè)隨機(jī)變量序列按分布收斂于隨機(jī)變量，又隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)，則按分布收斂于。，證明的分布函數(shù)弱收斂于分布。 如果隨機(jī)變量序列，當(dāng)時有，證明服從大數(shù)定律（馬爾柯夫大數(shù)定律）證：由契貝曉夫不等式即得。證：為同分布隨機(jī)變量序列，且，因而，又當(dāng)時，與獨(dú)立，結(jié)論得證。證：不妨設(shè)。記，又。，共同分布為試問是否服從大數(shù)定律？答：因?yàn)榇嬖?，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。 一本書共有一百萬個印刷符號，求在校對后錯誤不多于15個的概率。 在一家保險(xiǎn)公司里有10000個人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年里一個人死亡的概率為0。令，因?yàn)楹艽?，由中心極限定理有由分布表知當(dāng)時即能滿足上述不等式，于是知。 用特征函數(shù)的方法證明“二項(xiàng)分布收斂于普哇松分布”的普哇松定理。，且服從上的均勻分布，證明對成立中心極限定理。第五章習(xí)題 2. 設(shè)是來自上的均勻分布的樣本，未知（1）寫出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）指出下列樣本函數(shù)中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是？為什么？（3）設(shè)樣本的一組觀察是：,1,1,1,寫出樣本均值、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 5. 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，試證：（1）；（2）。（1）試給出常數(shù)，使得服從分布，并指出它的自由度；（2）試給出常數(shù)，使得服從t分布，并指出它的自由度。今從中抽取1600人的隨機(jī)樣本，求：（1）樣本中不少于11%的人年收入超過1萬的概率；（2）樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率。10. 設(shè)總體，皆未知，已知樣本容量，樣本均值，修正樣本方差，求。 ，與分別為樣本均值與樣本方差，試求。 14. 某區(qū)有25000戶家庭，10%的家庭沒有汽車，今有1600戶家庭的隨機(jī)樣本，試求：9%~11%之間的樣本家庭沒有汽車的概率。 2.（1）0因?yàn)楹椭胁缓傮w中的唯一未知參數(shù)，而和中含有未知參數(shù)。 。4. 解，所以。（2）易見，即，由分布的定義，即。（2）由于，則。 8. 解（1）引入新變量： 1，第個樣本居民年收入超過1萬 0，第個樣本居民年收入沒超過1萬其中易見：又因，故可以近似看成有放回抽樣，相互獨(dú)立。 ，96。10. 。11. (1)；（2）；（3）。14. 。2. 設(shè)是取自總體X的一個樣本，其中X服從參數(shù)為的泊松分布，其中未知，求的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)，如得到一組樣本觀測值X01234頻數(shù)17201021求的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。4. 設(shè)是取自總體X的一個樣本，X的密度函數(shù)為其中未知，求的矩估計(jì)。 6. 設(shè)是取自總體X的一個樣本，總體X服從參數(shù)為的幾何分布，即，其中未知，求的最大似然估計(jì)。8. 設(shè)總體X的密度函數(shù)為，其中未知，設(shè)是取自這個總體的一個樣本，試求的最大似然估計(jì)。 故的矩估計(jì)量是的無偏估計(jì)。11. 設(shè)為總體的樣本，證明都是總體均值的無偏估計(jì)，并進(jìn)一步判斷哪一個估計(jì)有效。13. 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實(shí)踐中知道，滾珠直徑X服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個，量得直徑如下（單位：mm）：,。為了合理的確定對該商品的進(jìn)貨量，需對和作估計(jì)，為此隨機(jī)抽取七個月，其銷售量分別為：64，57，49，81，76，70，59。16. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量（1%）正常情況下服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差。17. 某單位職工每天的醫(yī)療費(fèi)服從正態(tài)分布，現(xiàn)抽查了25天，得元，元。設(shè)罐頭質(zhì)量服從正態(tài)分布并假設(shè)甲生產(chǎn)線與乙生產(chǎn)線互不影響。19. 為了比較甲、乙兩種顯像管的使用壽命X和Y，隨機(jī)的抽取甲、乙兩種顯像管各10只，得數(shù)據(jù)和（單位：），且由此算得，假定兩種顯像管的使用壽命均服從正態(tài)分布，且由生產(chǎn)過程知道它們的方差相等。21. 抽取1000人的隨機(jī)樣本估計(jì)一個大的人口總體中擁有私人汽車的人的百分?jǐn)?shù)，樣本中有543人擁有私人汽車，（1）求樣本中擁有私人汽車的人的百分?jǐn)?shù)的SE；（2）求總體中擁有私人汽車的人的百分?jǐn)?shù)的95%的置信區(qū)間。另，X的分布律為，故似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為：令可以看出的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。另，X的密度函數(shù)為 對數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量。2. 解由樣本觀測值可算得另，X的分布律為故似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量，故的最大似然估計(jì)值。 ，令，故的矩估計(jì)量。 ，令，故的矩估計(jì)量為。 ，令，故的矩估計(jì)量為，另，似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量為。 似然函數(shù) 對數(shù)似然函數(shù)解得的最大似然估計(jì)量為。 根據(jù)習(xí)題1的結(jié)果，的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)量都為，故平均時間間隔的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都為，即為。8. 解 ，對數(shù)似然函數(shù)為得的最大似然估計(jì)量為。 故的矩估計(jì)量是的無偏估計(jì)。11. 證明又 可見，所以二個估計(jì)量中更有效。 易見又由切比雪夫不等式，當(dāng)，對任給，即是的相合估計(jì)。當(dāng)，查表得，當(dāng)，查表得。，即為。 由于和都未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為，的雙側(cè)置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，即為。15. 解即為。 由于已知，故的單側(cè)置信下限為，的單側(cè)置信上限為，代入數(shù)據(jù)得。 由于未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，即為。 由于已知，故的的雙側(cè)置信區(qū)間為代入數(shù)據(jù)得，即為。 由于未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為其中，代入數(shù)據(jù)得， ,即為。 由于樣本大小相對于總體容量來說很小，因此可使用有放回抽樣的公式。21. 解 第八章 方差分析和回歸分析 對不同的元麥堆測得如下數(shù)據(jù)：堆 號123456重量跨度2813270511103259021315181試求重量對跨度的回歸方程，并求出根方差的估計(jì)值。（1） 寫出矩陣（2） 求的最小二乘估計(jì)（3） 證明當(dāng)時，的最小二乘估計(jì)不變 解 （1）（2），則，的最小二乘估計(jì)是（3）若，此時模型成為： ，則對應(yīng)的，的最小二乘估計(jì)是 某醫(yī)院用光色比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蜇晻r，得尿貢含量與肖光系數(shù)讀數(shù)的結(jié)果如下：尿貢含量246810肖光系數(shù)64138205285360已知它們之間有下述關(guān)系式： 各相互獨(dú)立，均服從分布，試求的最小二乘估計(jì)，并給出檢驗(yàn)假設(shè) 的拒絕域。62